2023-2024学年京改版九年级下册数学常考题型专练学案

京改版 数学9年级下册 A组 第1部分 (一)旋转中的常见模型 (二)折叠问题的常见题型 (三)三个重要的“将军饮马”模型 (四)有放回与无放回的概率问题 (五)概率中的跨学科试题 第2部分见另一份资料 (一) 旋转中的常见模型　　　　　　　　　　　　　　　　 模型一　手拉手模型 1.如图,等腰△ABC中,AB=AC,将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C',连接BB',CC',它们交于点M (1)求证:BB'=CC'; (2)若∠BAC=50°,求∠BMC的度数. 模型二　半角模型 2.如图,点M、N分别在等边△ABC的两边AB、AC所在的直线上,点D为△ABC外一点,且∠MDN=60°,∠BDC=120°,BD=CD. (1)如图1,点M、N分别在边AB、AC上,BM=CN=2,则MN=　　　　;  (2)如图2,点M、N分别在边AB、AC上,BM≠CN,试猜想BM、CN、MN之间的数量关系,并加以证明. 图1 图2 3. 阅读下列材料: 问题:如图1,已知正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD边上的点,且∠EAF=45°.判断线段BE、EF、FD之间的数量关系,并说明理由. 小明同学的想法:已知条件比较分散,可以利用旋转变换将分散的已知条件集中在一起.于是他将△DAF绕点A顺时针旋转90°,得到△BAH,然后通过证明三角形全等可得出结论. 请你参考小明同学的思路,解决下列问题: (1)图1中线段BE、EF、FD之间的数量关系是　　　　　　;  (2)如图1,已知正方形ABCD的边长为5,E、F分别是BC、CD边上的点,且∠EAF=45°,AG⊥EF于点G,则AG的长为　　　　,△EFC的周长为　　　;  (3)如图2,已知△AEF中,∠EAF=45°,AG⊥EF于点G,且EG=2,GF=3,求△AEF的面积. 图1 图2 模型三　鸡爪模型 4.如图1,P为正方形ABCD内一点,且PA∶PB∶PC=1∶2∶3,求∠APB的度数. 小明同学的想法:不妨设PA=x,PB=2x,PC=3x,设法把PA、PB、PC集中在一起,于是他将△BCP绕点B顺时针旋转90°得到△BAE(如图2),然后连接PE,问题得以解决. (1)图2中∠APB=　　　　°.  (2)请参考小明同学的方法,解决问题. 如图3,P是等边△ABC内一点,PA∶PB∶PC=3∶4∶5,求∠APB的度数. 　　 (二) 折叠问题的常见题型　　　　　　　　　　　　　　　　 题型一　求角度 1.如图,在▱ABCD中,将△ADC沿AC折叠后,点D恰好落在DC的延长线上的点E处.若∠B=58°,则∠CAD的度数为(　　) A.42° B.38° C.32° D.58° 2，如图,在△ABC中,点D是BC边上的一点,∠B=50°,∠BAD=26°,将△ABD沿AD折叠得到△AED,AE与BC交于点F,则∠AFC=　　　　°.  3，已知一张三角形纸片ABC如图甲所示,其中AB=AC.将纸片沿过点B的直线折叠,使点C落到AB边上的点E处,折痕为BD(如图乙),再将纸片沿过点E的直线折叠,点A恰好与点D重合,折痕为EF(如图丙).在原三角形纸片ABC中,∠ABC的度数为　　　°. 图甲 图乙 图丙 题型二　求线段长 4，如图,将矩形纸片ABCD折叠,使边DC落在对角线AC上,折痕为CE,且D点落在对角线AC上的点D'处,若AB=3,AD=4,则ED的长为(　　) A. B.3 C.1 D. 5，如图,在四边形纸片ABCD中,AD∥BC,AB=10,∠B=60°,将纸片折叠,使点B落在AD边上的点G处,折痕为EF,若∠BFE=45°,则BF的长为　　　　　.  6，如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=,动点P在矩形的边上沿B→C→D→A运动.当点P不与点A、B重合时,将△ABP沿AP对折,得到△AB'P,连接CB',则在点P的运动过程中,线段CB'的最小值为　　　　　.  7，如图,在△ABC中,∠A=90°,BC=5,AC=3,现将△ABC折叠,使点B与点C重合,求折痕DE的长. 题型三　求图形的周长或面积 8，如图,在矩形ABCD中,E是CD边上的一点,将△BCE沿BE所在直线折叠,点C落在AD边上的点F处,过点F作FG∥CD交BE于点G,连接CG.若AB=6,AD=10,则四边形CEFG的面积是(　　) A. C.20 D.10 9，如图,将等边△ABC折叠,使点C落在AB边上的点D处,折痕为EF,点E,F分别在AC和BC边上.若AC=8,AD=2,则△AED的周长为　　　　,的值为　　　　. 题型四　判断图形形状或线段(角)间的数量关系