第6章《三角》教材解读【正弦 余弦定理及其应用】讲义-2023-2024学年高一数学沪教版（2020）必修第二册

【原卷版】 正弦 余弦定理及其应用 【沪教版2020】数学 必修 第二册 教材解读 在平面几何中我们已经知道，在一个三角形中，大角对大边，但这只是一个关于边与角之间关系的定性性质；为了定量地刻画三角形的边与角之间的关系，为测量、航海及天文等方面的实际应用提供依据，需要引入一个角的正弦、余弦、正切、余切等概念，建立三角学的基本理论；在初中，当一个角为锐角时， 已经对有关的概念及结论做了初步的讨论，并介绍了求解直角三角形的方法及其应用；本章将拓展角的概念，并对一个任意给定的角给出其相应的正弦、余弦、正切、余切的定义，学习使用三角恒等变换化简三角表达式，进一步探讨三角形中边与角之间的定量关系，从而有效地解决有关的实际问题，并为下章学习三角函数的性质以及学习解析几何、立体几何等后续章节奠定基础； 【本章教材目录】 第6章 三角 6.1 正弦、余弦、正切、余切：6.1.1锐角的正弦、余弦、正切、余切，6.1.2任意角及其度量，6.1.3任意角的正弦、余弦、正切、余切，6.1.4诱导公式，6.1.5已知正弦、余弦或正切值求角； 6.2 常用三角公式：6.2.1两角和与差的正弦、余弦、正切公式，6.2.2二倍角公式，6.2.3三角变换的应用； 6.3 解三角形：6.3.1正弦定理，6.3.2余弦定理； 【本章内容提要】 1、正弦、余弦、正切、余切 弧度制：弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做弧度的角.用“弧度”作为单位来度量角的单位制称为弧度制； 扇形弧长与面积：记扇形的半径为，圆心角为弧度，弧长为，面积为，则有，； 单位圆：单位圆泛指半径为个单位的圆．本章中，在平面直角坐标系中，特指出以原点为圆心、以为半径的圆为单位圆； 正弦、余弦、正切及余切的定义：在平面直角坐标系中，将角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，在角的终边上任取异于原点的一点，就有 ，，（），（）； 同角三角公式：，，，； 诱导公式：（），，，； 诱导公式，其规律为口诀：奇变偶不变，符号看象限. 2、常用三角公式 和角与差角公式：，， ； 倍角公式： ， ， ； 3、解三角形 正弦定理：； 余弦定理：，，； 三角形面积公式：； 【要点方法解读】 解读点035 对正弦定理的理解与推导 1、正弦定理 三角形的各边和它所对角的正弦之比相等；即＝＝. 【说明】1、正弦定理的适用范围是：正弦定理对任意三角形都成立． 2、在△ABC中，、、各自等于：　＝＝＝2R(R为三角形的外接圆半径)． 3、解斜三角形 （1）解斜三角形是指由六个元素(三条边和三个角)中的三个元素(至少有一个是边)，求其余未知元素的过程． （2）利用正弦定理可以解决的两类解斜三角形的问题： ①已知两角与任一边，求其他两边和一角； ②已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角)； 4、正弦定理的主要功能是：实现了三角形中边角关系的转化； 【典例】 1、在钝角△ABC中，证明正弦定理． 2、如图所示，锐角△ABC的外接圆O半径为R，证明＝2R. 【说明】1、注意与任意角的三角比的定义沟通边与角内在联系，充分挖掘这些联系可以使理解更深刻，记忆更牢固； 2、要证＝，只需证asin B＝bsin A，而asin B，bsin A都对应CD.初看是神来之笔，仔细体会还是有迹可循的，通过体会思维的轨迹，可以提高我们的分析解题能力； 解读点036 利用正弦定理已知两角及一边解三角形 【典例】 1、在△ABC中，a＝5，B＝45°，C＝105°，求边c； 2、在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，解这个三角形． 【说明】已知三角形的两角和任一边解三角形的思路： 1、若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对的边，再由三角形内角和定理求出第三个角； 2、若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边； 解读点037 利用正弦定理已知两边及一边的对角解三角形 【典例】 1、在△ABC中，A＝，BC＝3，AB＝，则角C等于(　　) A．或　　　　 B． C． D． 2、在△ABC中，已知c＝，A＝45°，a＝2，解这个三角形； 【说明】已知两边及其中一边的对角解三角形的思路： 1、首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值； 2、如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角； 3、如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论； 解读点038 利用正弦定理判别三角形形状 【典例】 1、在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试