第6章《三角》教材解读【两角和与差的的正弦、余弦、正切公式】讲义-2023-2024学年高一数学沪教版（2020）必修第二册

【原卷版】 两角和与差的的正弦、余弦、正切公式 【沪教版2020】数学 必修 第二册 教材解读 在平面几何中我们已经知道，在一个三角形中，大角对大边，但这只是一个关于边与角之间关系的定性性质；为了定量地刻画三角形的边与角之间的关系，为测量、航海及天文等方面的实际应用提供依据，需要引入一个角的正弦、余弦、正切、余切等概念，建立三角学的基本理论；在初中，当一个角为锐角时， 已经对有关的概念及结论做了初步的讨论，并介绍了求解直角三角形的方法及其应用；本章将拓展角的概念，并对一个任意给定的角给出其相应的正弦、余弦、正切、余切的定义，学习使用三角恒等变换化简三角表达式，进一步探讨三角形中边与角之间的定量关系，从而有效地解决有关的实际问题，并为下章学习三角函数的性质以及学习解析几何、立体几何等后续章节奠定基础； 【本章教材目录】 第6章 三角 6.1 正弦、余弦、正切、余切：6.1.1锐角的正弦、余弦、正切、余切，6.1.2任意角及其度量，6.1.3任意角的正弦、余弦、正切、余切，6.1.4诱导公式，6.1.5已知正弦、余弦或正切值求角； 6.2 常用三角公式：6.2.1两角和与差的正弦、余弦、正切公式，6.2.2二倍角公式，6.2.3三角变换的应用； 6.3 解三角形：6.3.1正弦定理，6.3.2余弦定理； 【本章内容提要】 1、正弦、余弦、正切、余切 弧度制：弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做弧度的角.用“弧度”作为单位来度量角的单位制称为弧度制； 扇形弧长与面积：记扇形的半径为，圆心角为弧度，弧长为，面积为，则有，； 单位圆：单位圆泛指半径为个单位的圆．本章中，在平面直角坐标系中，特指出以原点为圆心、以为半径的圆为单位圆； 正弦、余弦、正切及余切的定义：在平面直角坐标系中，将角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，在角的终边上任取异于原点的一点，就有 ，，（），（）； 同角三角公式：，，，； 诱导公式：（），，，； 诱导公式，其规律为口诀：奇变偶不变，符号看象限. 2、常用三角公式 和角与差角公式：，， ； 倍角公式： ， ， ； 3、解三角形 正弦定理：； 余弦定理：，，； 三角形面积公式：； 【要点方法解读】 解读点023 两角和差公式的简单应用 1、两角和与差的余弦、正弦、正切公式 （1）公式C(α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β； （2）公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β； （3）公式S(α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β； （4）公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β； （5）公式T(α－β)：tan(α－β)＝； （6）公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝. 2、辅助角公式 asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，其中φ由sin φ＝，cos φ＝确定 3、两角和与差的公式的常用变形 （1）sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β. （2）cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β. （3）tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；tan αtan β＝1－＝－1； 【典例】 求下列各式的值： 1、cos(35°－α)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)． 2、sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°) 【说明】1、两角和与差的余弦公式中，α，β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体； 2、在运用公式化简求值时，要充分利用诱导公式构造两角和与差的余弦结构形式，然后逆用公式求值． 【注意】要重视诱导公式在角的差异、函数名称的差异中的转化作用； 解读点024 利用两角和差公式给值求值 【典例】 1、已知0＜β＜，＜α＜，cos＝，sin＝，求cos(α＋β)的值． 2、已知α，β是锐角，且sin α＝，cos(α＋β)＝－，求sin β的值． 【说明】解此类问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示出来. 1、当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式. 2、当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”. 3、角的拆分方法不唯一，可根据题目合理选择拆分方式； 解读点025 利用两角和差公式给值求角 【典例】 1、已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，求α＋β的值． 2、如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β， 它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点， 已知A，B