第6章《三角》教材解读【任意角的正弦、余弦、正切、余切】讲义-2023-2024学年高一数学沪教版（2020）必修第二册

【原卷版】 任意角的正弦、余弦、正切、余切及其应用 【沪教版2020】数学 必修 第二册 教材解读 在平面几何中我们已经知道，在一个三角形中，大角对大边，但这只是一个关于边与角之间关系的定性性质；为了定量地刻画三角形的边与角之间的关系，为测量、航海及天文等方面的实际应用提供依据，需要引入一个角的正弦、余弦、正切、余切等概念，建立三角学的基本理论；在初中，当一个角为锐角时， 已经对有关的概念及结论做了初步的讨论，并介绍了求解直角三角形的方法及其应用；本章将拓展角的概念，并对一个任意给定的角给出其相应的正弦、余弦、正切、余切的定义，学习使用三角恒等变换化简三角表达式，进一步探讨三角形中边与角之间的定量关系，从而有效地解决有关的实际问题，并为下章学习三角函数的性质以及学习解析几何、立体几何等后续章节奠定基础； 【本章教材目录】 第6章 三角 6.1 正弦、余弦、正切、余切：6.1.1锐角的正弦、余弦、正切、余切，6.1.2任意角及其度量，6.1.3任意角的正弦、余弦、正切、余切，6.1.4诱导公式，6.1.5已知正弦、余弦或正切值求角； 6.2 常用三角公式：6.2.1两角和与差的正弦、余弦、正切公式，6.2.2二倍角公式，6.2.3三角变换的应用； 6.3 解三角形：6.3.1正弦定理，6.3.2余弦定理； 【本章内容提要】 1、正弦、余弦、正切、余切 弧度制：弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做弧度的角.用“弧度”作为单位来度量角的单位制称为弧度制； 扇形弧长与面积：记扇形的半径为，圆心角为弧度，弧长为，面积为，则有，； 单位圆：单位圆泛指半径为个单位的圆．本章中，在平面直角坐标系中，特指出以原点为圆心、以为半径的圆为单位圆； 正弦、余弦、正切及余切的定义：在平面直角坐标系中，将角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，在角的终边上任取异于原点的一点，就有 ，，（），（）； 同角三角公式：，，，； 诱导公式：（），，，； 诱导公式，其规律为口诀：奇变偶不变，符号看象限. 2、常用三角公式 和角与差角公式：，， ； 倍角公式： ， ， ； 3、解三角形 正弦定理：； 余弦定理：，，； 三角形面积公式：； 【要点方法解读】 解读点012 任意角的正弦、余弦、正切、余切 1、任意角的正弦、余弦、正切、余切的定义 在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点的距离是r(r＝＞0)． 三角比值 定义 定义域 正弦 sinα＝ R 余弦 cosα＝ R 正切 tanα＝ 【拓展】任意角的正割、余割、余切函数的定义 ①角α的正割：secα＝＝； ②角α的余割：cscα＝＝； ③角α的余切：cotα＝＝. 【典例】 1、已知角α的终边过点P(－3a,4a)(a≠0)，则2sin α＋cos α＝ . 2、已知角α的终边在射线y＝2x(x＞0)上，求角α的正弦比值和余弦比值； 【说明】利用三角比值的定义求比值的策略： 1、已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种： ①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用三角函数的定义求出相应的三角函数值． ②注意到角的终边为直线，所以应分两种情况来处理，取射线上任一点坐标(a，b)(a≠0)，则对应角的正弦值sin α＝，余弦值cos α＝，正切值tan α＝. 2、当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论. 解读点013 任意角的正弦、余弦、正切、余切的符号 　 任意角正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 1、图示： 2、口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”； 【典例】 1、确定下列三角函数值的符号： （1）sin；（2）cos(－925°)． 【说明】对于此类判断含三角函数的代数式的符号问题，关键是要搞清楚三角函数中所含的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的正负，进而得到结果．其中，正弦、余弦函数周期的运用对判断角所在的象限也很重要； 2、如果点P(sinθcosθ，2cosθ)位于第三象限，那么角θ所在的象限是(　　) A．第一象限　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【说明】判断三角函数值正负的两个步骤： 1、定象限：确定角α所在的象限． 2、定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断； 要熟悉每个象限各个三角函数的符号．第一象限：全正；第二象限：仅sinα，cscα为正，其余为负；第三象限：仅tanα，cotα为正，其余为负；第四象限：仅cosα，secα为正，其余为负．简单地说：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”； 解读点014 单位圆