5.3.2 函数的极值-2023-2024学年高二数学教材配套教学精品课件（人教A版2019选择性必修第二册)

人教A版 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 5.3 导数在研究函数中的应用 5.3.2 函数的极值 教学目标 1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要条件与充分条件； 2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值 3.体会导数与单调性、极值、最大（小）值的关系． 01 复习导入 复习导入 思考：如何用导数的方法判断函数的单调性？ 函数的单调性与其导函数正负的关系在某个区间上 （1）如果，那么函数在区间上单调递增； （2）如果，那么函数在区间上单调递减； （3）如果在区间上恒有那么函数在区间上是常数函数. （4）在区间上单调递增，则f ′(x)≥0在(a,b)内恒成立 （5）在区间上单调递减，则f ′(x)≤0在(a,b)内恒成立 情景导入 在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负可以判断函数的单增减. 如果函数在某些点的导数为0，那么在这些点处函数有什么性质呢？ 02 函数的极值 新知探究 观察下图，我们发现，当 t = a 时，高台跳水运动员距水面的高度最大. 问题1 ：函数h(t)在此点的导数是多少呢? 此点附近的图象有什么特点? 相应地, 导数的符号有什么变化规律? 新知探究 放大附近函数的图象， 如图.可以看出，；在附近， 当时，函数单调递增，； 当时，函数单调递减，. 这就是说，在附近，函数值先增(当时，)后减(当时，).这样，当在的附近从小到大经过时，先正后负，且连续变化，于是有. 新知探究 问题2 ：对于一般的函数y=f(x)，是否也有同样的性质呢? 如图，函数y=f (x)在x=a,b,c,d,e等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？在这些点的导数值是多少？在这些点附近，的导数的正负性有什么规律？ 新知探究 以两点为例，可以发现， ①函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，； ②在点附近的左侧，右侧. ③类似地，函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，； ④在点附近的左侧，右侧. 新知探究 我们把a叫做函数y=f(x)的极小值点， f (a)叫做函数y=f(x)的极小值；b叫做函数y=f(x)的极大值点， f (b)叫做函数y=f (x)的极大值； 极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极(extremum). 极值点与极值 新知探究 x y O y＝x3 结论： 若 f ′(x0)=0 ，但 x0不一定是极值点。 思考1：导数为0的点都是极值点吗？ 新知探究 思考2： f ′(x0)=0是函数在x=x0处取得极值的什么条件？ 结论：f ′(x0)=0 是可导函数在x0处取得极值的必要而不充分条件. f ′(x0)=0 x0是函数 f(x) 的极值点 x0是函数 f(x) 的极值点 x0左右两侧导数异号 f ′(x0)=0 新知探究 思考3：函数的极大值一定大于极小值吗？ 不一定，如图中c处的极小值大于f处的极大值． 新知探究 (3) 极大值与极小值没有必然关系，极大值可能比极小值还小. (1) 极值是某一点附近的小区间而言的，是函数的局部性质，不是整体的最值； (2) 函数的极值不一定唯一，在整个定义区间内可能有多个极大值和极小值； (4) 对于可导函数，若x0是极值点，则 f '(x0)=0;反之，若f '(x0)=0，则x0不一定是极值点.即f ′(x0)=0是函数f(x)在x0处取得极值的必要条件. 关于极值的归纳总结 （5）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点； （6）单调函数一定没有极值． 新知探究 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1） 是函数 的极值点．( ) × （2） 可导函数一定存在极值．( ) × （3） 若 ，则 是函数 的极值点．( ) × （4） 若 是函数 的极值点，则 ．( ) √ 牛刀小试 新知探究 2.已知函数 的定义域为 ，导函数 在 上的图象如图所示，则函数 在 上的极大值点的个数为( ). B A. B. C. D. 由导函数的图象可知， 在 上与 轴的交点个数为4，但是在原点附近的导数值恒大于零，故 不是函数 的极值点．其余的3个交点都是极值点，其中有2个点满足其附近的导数值左正右负，故极大值点有2个． 新知探究 例1.求函数的极值. l 解：因为，所以