湖南师范大学附属中学2023-2024学年高三上学期月考(五)数学试卷

大联考湖南师大附中2024届高三月考试卷（五） 数学 一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，若，则（ ） A. 3 B. 1 C. -1 D. -3 2. 已知复数，则的虚部为（ ） A. -1 B. C. D. 1 3. 二项式的展开式中常数项为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数为偶函数，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 5. 已知为双曲线的左焦点，直线与交于两点，且轴，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 在数列中的相邻两项与之间插入一个首项为，公差为的等差数列的前项，记构成的新数列为，若，则前65项的和为（ ） A. B. -13 C. D. -14 二､多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9. 已知S为圆锥的顶点，为该圆锥的底面圆的直径，为底面圆周上一点，，则（ ） A. 该圆锥的体积为 B. C. 该圆锥的侧面展开图的圆心角大于 D. 二面角的正切值为 10. 已知椭圆的左､右焦点分别为，直线经过的一个焦点和一个顶点，且与交于两点（点在第三象限），则（ ） A. B. 的周长为8 C. D. 以为直径的圆过点 11. 若函数在处取得极值，则（ ） A. B. 为定值 C. 当时，有且仅有一个极大值 D. 若有两个极值点，则是的极小值点 12. 今年是共建“一带一路”倡议提出十周年.某校进行“一带一路”知识了解情况问卷调查，为调动学生参与的积极性，凡参与者均有机会获得奖品.设置3个不同颜色的抽奖箱，每个箱子中的小球大小相同质地均匀，其中红色箱子中放有红球3个，黄球2个，绿球2个；黄色箱子中放有红球4个，绿球2个；绿色箱子中放有红球3个，黄球2个，要求参与者先从红色箱子中随机抽取一个小球，将其放入与小球颜色相同的箱子中，再从放入小球的箱子中随机抽取一个小球，抽奖结束.若第二次抽取的是红色小球，则获得奖品，否则不能获得奖品，已知甲同学参与了问卷调查，则（ ） A. 在甲先抽取的是黄球的条件下，甲获得奖品的概率为 B. 在甲先抽取的不是红球的条件下，甲没有获得奖品的概率为 C. 甲获得奖品的概率为 D. 若甲获得奖品，则甲先抽取绿球的机会最小 三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 13. 已知向量，向量满足，则__________. 14. 已知正三棱台的上､下底面边长分别为和，它的一个侧面的面积为，则该正三棱台的体积为__________. 15. 已知直线与圆交于两点，则满足“的面积为”的的一个值为__________. 16. 已知函数的部分图象如图所示，且，则不等式在区间上的解集为__________. 四､解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 17. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求的值； （2）若，且的周长为，求边上的高. 18. 记为正项数列的前项和，且，. （1）求数列的通项公式； （2）设，记数列的前项和为，证明：. 19. 为检验预防某种疾病的两种疫苗的免疫效果，随机抽取接种疫苗的志愿者各100名，化验其血液中某项医学指标（该医学指标范围为，统计如下： 该项医学指标 接种疫苗人数 10 50 接种疫苗人数 30 40 个别数据模糊不清，用含字母的代数式表示. （1）为检验该项医学指标在内的是否需要接种加强针，先从医学指标在的志愿者中，按接种疫苗分层抽取8人，再次抽血化验进行判断.从这8人中随机抽取4人调研医学指标低的原因，记这4人中接种疫苗的人数为，求的分布列与数学期望； （2）根据（1）化验研判结果，医学认为该项医学指标低于50，产生抗体较弱，需接种加强针，该项医学指标不低于50，产生抗体较强，不需接种加强针.请先完成下面的列联表，若根据小概率的独立性检验，认为接种疫苗与志愿者产生抗体的强弱有关联，求的最大值. 疫苗 抗体 合计 抗体弱 抗体强 疫苗 疫苗 合计 附：，其中. 0.25 0.025 0005 1323 5.024 7.879 20. 如图，在直三棱柱中，，点上一点，且. （1）证明：平面； （2）若，求直线与平面所成角