4．2．2 等差数列的前n项和公式-2023-2024学年高二数学新教材同步配套培优讲义（人教A版2019选择性必修第二册）

4．2．2 等差数列的前n项和公式 【题型归纳目录】 题型一：等差数列前项和的有关计算 题型二：等差数列前项和的比值问题 题型三：等差数列前项和的性质 题型四：等差数列前项和的最值问题 题型五：求数列的前项和 题型六：等差数列前n项和公式的实际应用 题型七：由等差数列的前n项和判断等差数列 题型八：等差数列片段和的性质 题型九：等差数列的奇数项与偶数项和 【知识点梳理】 知识点一、等差数列的前项和公式 等差数列的前项和公式 公式一： 证明：倒序相加法 ① ② ①+②： 因为 所以 由此得： 公式二： 证明：将代入可得： 知识点诠释： ①倒序相加是数列求和的重要方法之一． ②上面两个公式均为等差数列的求和公式，共涉及、、、、五个量，已知其中任意三个量，通过解方程组，便可求出其余两个量． 知识点二、等差数列的前项和的有关性质 等差数列中，公差为，则 ①连续项的和依然成等差数列，即，，，…成等差数列，且公差为． ②若项数为，则，， ③若项数为，则，，，， 知识点三、等差数列中的函数关系 等差数列的通项公式是关于的一次函数（或常数函数） 等差数列中，，令，则： （，是常数且为公差） （1）当时，为常数函数，为常数列；它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点． （2）当时，是的一次函数；它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点． ①当时，一次函数单调增，为递增数列； ②当时，一次函数单调减，为递减数列． 等差数列的前项和公式是关于的一个常数项为零的二次函数（或一次函数） 由，令，，则： （，是常数） （1）当即时，，是关于的一个一次函数；它的图象是在直线上的一群孤立的点． （2）当即时，是关于的一个常数项为零的二次函数；它的图象是在抛物线上的一群孤立的点． ①当时有最小值 ②当时，有最大值 知识点诠释： 1、公差不为0的等差数列的通项公式是关于n的一次函数． 2、（，是常数）是数列成等差数列的充要条件． 3、公差不为0的等差数列的前项和公式是关于n的一个常数项为零的二次函数． 4、（其中，为常数）是数列成等差数列的充要条件． 【方法技巧与总结】 1、等差数列前项和的最值 （1）在等差数列中， 当，时，有最大值，使取得最值的可由不等式组确定；当，时，有最少值，使取到最值的可由不等式组确定． （2），若，则从二次函数的角度看：当时，有最少值；当时，有最大值．当取最接近对称轴的正整数时，取到最值． 【典型例题】 题型一：等差数列前项和的有关计算 例1．（2023·江苏镇江·高二统考期中）已知等差数列的前项和为，，则（    ） A．78 B．100 C．116 D．120 例2．（2023·湖北省直辖县级单位·高二校考期中）已知为等差数列，若，则=（    ） A．73 B．120 C．121 D．122 例3．（2023·江苏苏州·高二统考期中）设是等差数列的前项和，若，则（    ） A．36 B．45 C．54 D．63 变式1．（2023·上海闵行·高二校考期中）在和之间插入个数，组成首项为，末项为的等差数列，若这个数列的前项的和，后项的和之比为，则插入数的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 变式2．（2023·广东·高二校联考期末）已知为等差数列的前项和，若，且，则（    ） A． B． C． D． 变式3．（2023·广东广州·高二统考期末）记为等差数列的前n项和.若，，则的公差为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式4．（2023·广东珠海·高二统考期末）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【方法技巧与总结】 等差数列中的基本计算 （1）利用基本量求值： 等差数列的通项公式和前项和公式中有五个量和，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量和的方程组，解出和，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想． （2）结合等差数列的性质解题： 等差数列的常用性质：若，则，常与求和公式结合使用． 题型二：等差数列前项和的比值问题 例4．（2023·江苏常州·高二江苏省奔牛高级中学校考期末）在等差数列中,,其前项和为,则 . 例5．（2023·山东济南·高二济南市历城第二中学校考开学考试）设等差数列的前项和为，若，则数列公差为 . 例6．（2023·河南·高三校联考阶段练习）已知等差数列，，其前项和分别为，，且满足， ． 变式5．（2023·河南许昌·高二禹州市高级中学校考期末）设等差数列、的前项和分别为、，若对任意的，都有，则 ． 变式6．（2023·辽宁沈阳·高二沈阳二十中校考阶段练习）两个等差数列，的前n项和分别为和，已知，则 ． 变式7．（2023·全国·高二专题练习）已知，分