精品解析：吉林省长春市十一高中2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题

长春市十一高中2023-2024学年度高二上学期第三学程考试 数学试题 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 设等差数列首项为，若，则的公差为( ) A. B. C. D. 2. 数列的前项和为 （ ） A. B. C. D. 3. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”在这首诗中含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题．如图，在平面直角坐标系中，军营所在区域的边界为,河岸所在直线方程为,将军从点处出发，先到河边饮马，然后再返回军营，如果将军只要到达军营所在区域即回到军营，则这个将军所经过的最短路程为（ ） A. B. C. D. 4. 三棱锥中，，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 5. 已知椭圆右焦点与抛物线的焦点重合，过点的直线交于两点，若的中点坐标为，则椭圆方程为（ ） A. B. C. D. 6. 德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响．他幼年时就表现出超人的数学天才，10岁时，他在进行的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法．已知数列，则（ ） A. 96 B. 97 C. 98 D. 99 7. 已知抛物线的焦点为，过的直线的倾斜角为锐角，且与交于两点，，则的斜率为（ ） A. B. C. 1 D. 8. 著名的波那契列：，，，，，，，满足，，那么是斐波那契数列中的（ ） A. 第项 B. 第项 C. 第项 D. 第项 二、多选题：本题共4小题，在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的． 9. 下列命题中，正确的有（ ） A. 若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则； B. 若非零向量，，满足，，则有； C. 在四面体中，若，，则； D. 若向量，，是空间一组基底，则，，也是空间的一组基底. 10 已知双曲线，则（ ） A. 焦距为 B. 的虚轴长是实轴长的倍 C. 双曲线与有相同的渐近线 D. 点到的一条渐近线的距离为 11. 设等差数列的前项和为，，且，则（ ） A. 是等比数列 B. 是递增的等差数列 C. 当时，的最大值为28 D ，， 12. 已知椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，两曲线有公共焦点，，P是椭圆与双曲线的一个公共点，，以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的最小值为 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共4小题． 13. 若直线与直线平行，则______． 14. 已知曲线，点为平面内一动点，且与曲线的焦点不重合.已知关于曲线的左焦点的对称点为，关于右焦点的对称点为，线段的中点在双曲线右支上，则的值为______． 15. 已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式为 __________． 16. 已知椭圆C：的离心率为，F为椭圆C的一个焦点，P为椭圆C上一点，则的最大值为___________. 四、解答题：本题共6小题． 17. 已知圆的方程：. （1）求实数的取值范围； （2）若圆与直线交于，两点，且，求的值. 18. 已知等差数列的前n项和为，且，（）． （1）求数列的通项公式； （2）若，令，求数列的前n项和. 19. 已知点，点B为直线上的动点，过B作直线的垂线，线段AB的中垂线与交于点P． （1）求点P的轨迹C的方程； （2）若过点的直线l与曲线C交于M，N两点，求面积的最小值．（O为坐标原点） 20. 如图，在多面体ABCFDE中，四边形ABED是菱形，，，平面ABED，点G是线段CD的中点． （1）证明：平面BCD； （2）若，求直线FG与平面ACD所成角的正弦值． 21. 某公司2022年投资4千万元用于新产品的研发与生产，计划从2023年起，在今后的若干年内，每年继续投资1千万元用于新产品的维护与生产，2022年新产品带来的收入为0.5千万元，并预测在相当长的年份里新产品带来的收入均在上年度收入的基础上增长.记2022年为第1年，为第1年至此后第年的累计利润（注：含第年，累计利润累计收入累计投入，单位：千万元），且当为正值时，认为新产品赢利.（参考数据，，，） （1）试求的表达式； （2）根据预测，该新产品将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由. 22. 已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为． （1）求C的方程； （2）记C的右顶点为A，过点A作直线MA，NA与C的左支交于M，N两点，且，，D为垂足．证明：存在定点Q，使得为定值，并求出Q点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限