复习专题 双曲线方程及其性质学案-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

新汇英高级中学学生导学提纲 选择性必修二 使用日期：2024年1月18日 编写：余耿耿 张国法 复习专题 双曲线方程及其性质 1、 学习目标 1. 掌握双曲线的第一定义并了解其他定义。 2. 掌握双曲线的标准方程并会求其方程。 3. 掌握双曲线的常见性质。 4. 掌握等轴双曲线的性质。 5. 会判断直线与双曲线的位置关系 6. 熟记双曲线中一些常用结论。 2、 学习三点 重点：双曲线方程及其性质 难点：离心率求解、双曲线性质的应用 易错点：直线与双曲线只有一个交点的情况 三、用笔思考 （一）双曲线的定义 平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为． 注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支． （2）当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线；当时，点的轨迹是线段的垂直平分线．（3）时，点的轨迹不存在． （二）双曲线的方程及性质 双曲线的方程、图形及性质 标准方程 图形 A2 焦点坐标 ， ， 对称性 关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称 顶点坐标 ， ， 范围 实轴、虚轴 实轴长为，虚轴长为 离心率 渐近线方程 令， 焦点到渐近线的距离为 令， 焦点到渐近线的距离为 共焦点的双曲线方程 共渐近线的双曲线方程 切线方程 为切点 为切点 弦长公式 设直线与双曲线两交点为，，． 则弦长， ，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数． 通径 通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为 焦点三角形 双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形， 设，，，则， ， 焦点三角形中一般要用到的关系是 等轴双曲线 等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为． （三）直线与双曲线的位置关系 设直线l：y＝kx＋m（m≠0），　① 双曲线C：－＝1（a>0，b>0），　② 把①代入②得（b2－a2k2）x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0. （1）当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点. （2）当b2－a2k2≠0，即k≠±时，Δ＝（－2a2mk）2－4（b2－a2k2）（－a2m2－a2b2）． Δ>0⇒直线与双曲线有2个公共点；Δ＝0⇒直线与双曲线有1个公共点；Δ<0⇒直线与双曲线有0个公共点． （四）双曲线中常用结论 1.焦半径坐标式：，其中为离心率，为P点横坐标． 当在右支上时，,. 当在左支上时，,. 2.双曲线第三定义： 3.双曲线垂径定理：(即中点弦斜率)直线交双曲线：＝1(a>0，b>0)于两点，点为弦的中点，则． 4.焦点弦定理：已知焦点在轴上的双曲线，经过其焦点的直线交曲线于两点，直线的倾斜角为，，则曲线的离心率满足等式： 四、双师导学 1.双曲线的左、右焦点分别为，，P为C的右支上一点，且，求的面积． 2.已知点和双曲线，过点且与双曲线只有一个公共点的直线有（    ） A．2条 B．3条 C．4条 D．无数条 3.双曲线的一条弦的中点为，则此弦所在的直线方程为 . 4.已知双曲线的左、右焦点分别为，过斜率为的直线与的右支交于点，若线段恰被轴平分，则的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 5.已知为坐标原点，，，直线，的斜率之积为4，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)直线经过点，与交于，两点，线段中点为第一象限，且纵坐标为，求的面积. 高二数学第1页（共2页） 高二数学第2页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $$新汇英高级中学学生导学提纲 选择性必修二 使用日期：2024年1月18日 编写：余耿耿 张国法 复习专题 双曲线方程及其性质 1、 学习目标 1. 掌握双曲线的第一定义并了解其他定义。 2. 掌握双曲线的标准方程并会求其方程。 3. 掌握双曲线的常见性质。 4. 掌握等轴双曲线的性质。 5. 会判断直线与双曲线的位置关系 6. 熟记双曲线中一些常用结论。 2、 学习三点 重点：双曲线方程及其性质 难点：离心率求解