圆锥曲线中的定点、定值问题专题复习学案-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

圆锥曲线中的定点、定值问题专题复习 【学习内容】掌握解决圆锥曲线中的定点、定值问题 【学习目标】 1.会证明并求圆锥曲线中的定点 2.会求圆锥曲线中的定值问题（如面积、斜率、数量积） 【学习过程】 例1-1已知为椭圆C：上一点，点P与椭圆C的两个焦点构成的三角形面积为．(1)求椭圆C的标准方程；(2)不经过点P的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若直线PA与PB斜率的乘积为－1，证明：直线必过定点，并求出这个定点坐标． 例1-2（2023·四川凉山·高二统考期中）已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且双曲线过点．(1)求双曲线的标准方程．(2)过定点的直线与双曲线交于两点，在轴上是否存在定点，使得，若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由． 总结求解直线过定点问题一般解题步骤： ①设直线方程：或，此时引入了两个参数，需要消掉一个． ②找关系：找到和的关系：，等式带入消参，消掉． ③参数无关找定点：找到和没有关系的点． 练习运用1已知椭圆的离心率，且椭圆经过点. (1)求椭圆的标准方程；(2)过点且斜率不为零的直线与椭圆交于两点，关于轴的对称点为，求证：直线与轴交于定点. 例2-1（2023·安徽·高二校联考期末）已知直线过定点，双曲线过点，且的一条渐近线方程为.(1)求点的坐标和的方程；(2)若直线与交于，两点，试探究：直线，的斜率之和是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 例2-2（2023·江西上饶·高二统考期末）已知椭圆（，）的离心率为，左、右焦点分别为，，为的上顶点，且的周长为．(1)求椭圆的方程；(2)设圆上任意一点处的切线交椭圆于点、．求证：为定值． 例2-3已知椭圆，离心率为，点与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆交于，两点，为坐标原点直线，的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由． 例2-4（2023·全国·高三对口高考）已知是抛物线上一点，经过点的直线l与抛物线C交于A，B两点（不同于点E），直线分别交直线于点M，N． (1)求抛物线方程及其焦点坐标；(2)已知O为原点，求证：为定值． 思维升华：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值． 练习运用2（2023·湖南长沙·高二校联考期中）已知抛物线的焦点为为上一动点，为圆上一动点，的最小值为.(1)求的方程；(2)直线交于两点，交轴的正半轴于点，点与关于原点对称，且，求证为定值. 后续学习（2023·安徽芜湖·高二统考期末）已知以为焦点的椭圆过，记椭圆的另一个焦点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)若直线是曲线的切线，且与直线和分别交于点，与轴交于点，求证：为定值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 圆锥曲线中的定点、定值问题专题复习答案 例1-1已知为椭圆C：上一点，点P与椭圆C的两个焦点构成的三角形面积为．(1)求椭圆C的标准方程；(2)不经过点P的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若直线PA与PB斜率的乘积为－1，证明：直线必过定点，并求出这个定点坐标． 【详解】（1）由点与椭圆的两个焦点构成的三角形面积为可知， 解得：，，椭圆的标准方程：； （2）设， 当直线不平行于轴时，设方程为：，由不经过点知 由得，， ，， ， ，， ，过定点 当直线平行于轴时，，设 由和的方程联立解得， 方程为：，过定点 综上，直线必过定点． 例1-2（2023·四川凉山·高二统考期中）已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且双曲线过点．(1)求双曲线的标准方程．(2)过定点的直线与双曲线交于两点，在轴上是否存在定点，使得，若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）因为双曲线的离心率为，设双曲线的方程为， 代入点，解得故双曲线的方程为 （2）由直线过定点，当斜率为0时，符合条件， 故设直线为： 设，代直线入双曲线得 设轴上的点，，同理 由，则即 要对任意的都成立，则 在轴上存在点，使得 练习运用1已知椭圆的离心率，且椭圆经过点. (1)求椭圆的标准方程；(2)过点且斜率不为零的直线与椭圆交于两点，关于轴的对称点为，求证：直线与轴交于定点. 【详解】（1）由离心率可得，将点代入椭圆方程可得，又；解得，所以椭圆C的方程为 （2）设点，，则，直线的方程为， 直线与椭圆联立，消去，得，        则可得，，易知，得 由题意，直线的方程为， 令，所以点的横坐标， 所以直线与轴交于定点 例2-1（2023·安徽·高二校联考期末）已知直线过定点，双曲线过点，且的一条渐近线方程为.(1)求点的坐标和的方程；(2)若直线与交于，两点，试探究：直线，的斜率之和是否