1.4.2空间向量求夹角、距离 学案-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

空间中求夹角、距离问题专题复习 【学习内容】掌握空间向量与立体几何的知识，并利用向量法解决立体几何中的距离夹角问题 【学习目标】 1.会利用空间向量计算空间距离. 2.会利用空间向量计算空间角. 【学习过程】 一、利用空间向量计算距离 例1-1已知正方形ABCD的边长为1,PD⊥平面ABCD,且PD=1,E,F分别为AB,BC的中点. （1） 求点D到平面PEF的距离. （2） 求直线AC到平面PEF的距离. 例1-2已知正方体的棱长为4，设M、N、E、F分别是，的中点，则平面AMN与平面EFBD的距离为 ． 例1-3在三棱锥B－ACD中，平面ABD⊥平面ACD，若棱长AC＝CD＝AD＝AB＝1，且∠BAD＝30°，求点D到平面ABC的距离． 总结求点到直线、点到平面的距离思路 练习运用1如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，PA⊥平面ABCD，AB＝2，PA＝，E为BC中点，F在棱PD上，AF⊥PD，求点B到平面AEF的距离． 二、利用空间向量计算夹角 例2-1如图，在正方体中，为棱上一点（不含端点），为棱的中点. (1)若为棱的中点，（i）求直线与平面所成角的正弦值；（ii）求平面和平面的夹角的余弦值； (2)求直线与所成角余弦值的取值范围. 例2-2（2023春•东城区校级期末）如图，在四棱锥中，底面，四边形是直角梯形，，，，点在棱上． （1）证明：平面平面； （2）当时，求二面角的余弦值． 例2-3如图，在正方体中，点是线段上的动点（含端点），点是线段的中点，设与平面所成角为，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 例2-4（2022秋•大兴区期末）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，为等边三角形，且平面底面，，，，分别为，的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值． 练习运用2-1将等腰直角三角形绕着它的斜边旋转，当C到达P位置时，，M是上的点. (1)若M是上的中点，求三棱锥的体积； (2)若平面与平面的夹角为45°，求与平面所成角的正弦值. 练习运用2-2如图，在多面体ABCDEF中，平面平面ABCD，，，，． （1）求证：； （2）若四边形ACEF为矩形，且，求直线DF与平面DCE所成角的正弦值； （3）若四边形ACEF为正方形，在线段AF上是否存在点P，使得二面角的余弦值为？若存在，请求出线段AP的长；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$