第02讲 等差数列 （4个知识点+方法练+创新练+成果练）-2024年高二数学寒假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2019选择性必修第二册）

第02讲 等差数列 （4个知识点+方法练+创新练+成果练） 【目录】 【新知讲解】 知识点1.等差数列的概念 知识点2.等差数列的前n项和公式 知识点3.等差数列的前n项和及其应用 知识点4.等差数列前n项和的综合应用 【方法练】 【创新练】 【成果练】 【知识导图】 【新知讲解】 知识点1.等差数列的概念 1. 等差数列: 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，公差可正可负可为零． 思考　你能根据等差数列的概念写出它的数学表达式吗？ 答案　an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)． 2. 等差中项 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项且2A＝a＋b. 3.　等差数列的通项公式 首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d. 从函数角度认识等差数列{an} 若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d， 则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)． (1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上，这条直线的斜率为d，在y轴上的截距为a1－d ； (2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d. 4.　等差数列通项公式的变形及推广 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则 ①an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)， ②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)， ③d＝(m，n∈N*，且m≠n)． 其中，①的几何意义是点(n，an)均在直线y＝dx＋(a1－d)上． ②可以用来利用任一项及公差直接得到通项公式，不必求a1. ③可用来由等差数列任两项求公差． 5.　等差数列的性质 (1) 若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有 数列 结论 {c＋an} 公差为d的等差数列(c为任一常数) {c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数) {an＋an＋k} 公差为kd的等差数列(k为常数，k∈N*) {pan＋qbn} 公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数) (2）下标性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq. 特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则有am＋an＝2ap. （3）在等差数列中每隔相同的项选出一项，按原来的顺序排成一列，仍然是一个等差数列． （4）等差数列{an}的公差为d，则d>0⇔{an}为递增数列； d<0⇔{an}为递减数列；d＝0⇔{an}为常数列． 例一、单选题 1．（2023下·高二课时练习）等差数列中，，则的公差为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 例二、多选题 2．（2021·高二课时练习）给出下列命题，正确命题的是（    ） A．数列6，4，2，0是公差为2的等差数列； B．数列是公差为的等差数列； C．等差数列的通项公式一定能写成的形式(k，b为常数)； D．数列是等差数列． 例三、填空题 3．（2020·江苏苏州·统考模拟预测）已知和均为等差数列，若，，则的值是 . 例四、解答题 4．（2023下·高二课时练习）已知数列，满足，，记. (1)试证明数列为等差数列； (2)求数列的通项公式． 5．（2023上·江苏镇江·高三扬中市第二高级中学校考期末）已知数列的前项和为，且. (1)证明数列为等差数列，并求出的通项公式； (2)设数列，问是否存在正整数，使得，若存在，求出所以满足要求的的值；若不存在，请说明理由. 知识点2.等差数列的前n项和公式 等差数列的前n项和公式 已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数 求和公式 Sn＝ Sn＝na1＋d 等差数列前n项和公式的推导方法是倒序相加法. 等差数列前n项和公式有上面两种表示形式. 等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系是：能够由其中三个求另外两个． 例一、单选题 1．（2023下·河南·高二襄城高中校联考阶段练习）设等差数列的前项和为，且，则下列各项中值最大的为（    ） A． B． C． D． 例二、多选题 2．（2023上·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考期中）已知数列和都是等差数列，，，，设集合，，，若将集合中的元素从小到大排列，形成一个新数列，下列结论正确的有（    ） A． B． C． D．数列的前20项和为610 例三、填空题 3．（2022·高二课时练习）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上面一层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……．设各层球数构成一个数列，其中，，，则 ． 例四