复习02空间向量求解位置关系，距离和夹角（十大考点）-2024年高二数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019）

复习02空间向量求解位置关系、距离和夹角 一、直线的方向向量和平面的法向量 （1）直线的方向向量就是指和这条直线平行(或共线)的向量，记作，显然一条直线的方向向量可以有无数个. （2）若直线，则该直线的方向向量即为该平面的法向量，平面的法向量记作,有无数多个，任意两个都是共线向量. 平面法向量的求法：设平面的法向量为， 在平面内找出（或求出）两个不共线的向量， 根据定义建立方程组，得到，通过赋值，取其中一组解，得到平面的法向量. 2.利用空间向量表示空间线面平行、垂直 设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为. 位置关系 平行 垂直 线线（与） 线面（与） 面面（与） 3.利用空间向量求空间角 设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为. （1）直线所成的角为，则，计算方法：； （2）直线与平面所成的角为，则，计算方法：； （3）平面所成的二面角为，则， 如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小． 如图②③，分别是二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小θ满足，二面角的平面角大小是向量与的夹角(或其补角)． 4.利用空间向量求距离 （1）点到平面的距离 如图所示，已知AB为平面的一条斜线段，为平面的法向量，则B到平面的距离为. （2）点到直线的距离 设为直线上一点, 为直线的方向向量, 在向量方向上的投影向量的模长为,则点到直线的距离. 考点01空间向量与平行问题 【方法点拨】设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为， ①若与平行，则；②若与平行，则； ③若与平行，则 【例1】若直线，且的方向向量为，平面的法向量为，则的值为（    ） A．4 B． C． D．8 【例2】如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面相交于AD，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，．求证：平面CDE．    【变式1-1】设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则（    ） A．2 B．3 C． D． 【变式1-2】（多选）如图，点A，，，，为正方体的顶点或所在棱的中点，则直线平面的是（    ） A． B．   C．   D．   【变式1-3】（多选）如图，已知在正方体中，，，分别是，，的中点．证明：    (1)平面； (2)平面平面． 考点02空间向量与垂直问题 【方法点拨】设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为. ①若与垂直，则；②若与，则； ③若与垂直，则 【例3】直线的方向向量是，若，则平面的法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【例4】已知：在四棱锥中，底面为正方形，侧棱平面，点M为PD中点，.求证：平面平面.（注：必须用向量法做，否则不得分） 【变式2-1】正方体的棱长为为棱中点，为正方形内（舍边界）的动点，若，则动点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，在三棱锥 中，平面，，E，F，M分别为AP，AC，PB的中点，求证： 【变式2-3】已知正三棱台中，，，、分别为、的中点.    (1)求该正三棱台的表面积； (2)求证：平面 考点03空间向量与距离问题 【方法点拨】（1）为平面外的一点，为平面内的一点，为平面的法向量，B到平面的距离为； （2）为直线外一点，为直线上一点, 为直线的方向向量,则点到直线的距离. 【例5】已知直线过点，其方向向量是，则点到直线的距离是（ ） A． B． C． D． 【例6】（多选）已知棱长为2的正方体中，E，M，N分别为，，的中点，则下列说法中正确的是（    ） A．平面 B．直线与直线的距离为 C．点A到平面的距离为 D．到平面的距离为 【变式3-1】在棱长为3的正方体中，为线段靠近的三等分点.为线段靠近的三等分点，则直线到平面的距离为 . 【变式3-2】如图，在棱长为4的正方体中，点在棱上，且. (1)求平面与平面夹角的余弦值； (2)若点在棱上，且到平面的距离为，求到直线的距离. 【变式3-3】如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，且为中点． (1)求二面角的余弦值； (2)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由． 考点04求异面直线夹角大小或范围 【方法点拨】设直线的方向向量分别为，若直线所成的角为，则，计算方法：； 【例7】如图，已知四边形是菱形，，点E为的中点，把沿折起，使点A到达点P的位置，且平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【例8】如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且.’ (1)求证: (2)求三棱锥的体积 (3)求异面直线所成的角的最小值. 【变式4-1】如图，在圆锥SO中，AB是底面圆的直径，,  D，E分别为SO，