专题04 向量的数量积（8大考点，知识串讲+热考题型+专题训练）-【寒假自学课】2024年高一数学寒假提升学与练（苏教版2019）

专题04 向量的数量积 知识聚焦 考点聚焦 知识点一、向量的数量积 1、向量的夹角 （1）定义：已知两个非零向量，，是平面上的任意一点，作，， 则（）叫做向量与的夹角． （2）性质：当时，与同向；当时，与反向． （3）向量垂直：如果与的夹角是，我们说与垂直，记作． 2、向量数量积的定义 （1）定义：非零向量与，它们的夹角为，数量叫做向量与的数量积(或内积)； （2）记法：向量与的数量积记作，即； 零向量与任一向量的数量积为0； 3、投影向量 （1）设，是两个非零向量，，， 考虑如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量． （2）在平面内任取一点O，作，，过点M作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量，且． （3）几何意义：数量积等于的长度||与在的方向上的投影的乘积。 4、向量数量积的物理背景 如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功就等于力与位移的数量积，即，其中是与的夹角。 知识点二、向量数量积的性质与运算律 1、向量数量积的性质 设，都是非零向量，是单位向量，θ为与(或)的夹角．则 （1）； （2）； （3）当与同向时，；当与反向时，； 特别地，或； （4）cos θ＝； （5） 2、向量数量积满足的运算律 （1）； （3）(λ为实数)； （3）； （4）两个向量，的夹角为锐角⇔且，不共线； 两个向量，的夹角为钝角⇔且，不共线． （5）平面向量数量积运算的常用公式 知识点三、求平面向量数量积的方法 1、定义法：若已知向量的模及夹角，则直接利用公式，运用此法计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件； 2、运算律转化法：由可得如下运算公式：；；； 3、向量的线性运算转化法：涉及平面图形中向量的数量积的计算时，要结合向量的线性运算，将未知向量转化为已知向量求解。 · 考点剖析 考点1 向量数量积的概念辨析 【例1】（2023·高一单元测试）以下关于两个非零向量的数量积的叙述中，错误的是（ ） A．两个向量同向共线，则他们的数量积是正的 B．两个向量反向共线，则他们的数量积是负的 C．两个向量的数量积是负的，则他们夹角为钝角 D．两个向量的数量积是0，则他们互相垂直 【变式1-1】（2023·上海闵行·高一统考期末）下列命题中正确的是（ ） A． B． C．若，则 D．若，则 【变式1-2】（2023·陕西咸阳·高一校考阶段练习）在等式①；②；③；④若，且，则；其中正确的命题的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-3】（2023·全国·高一课时练习）（多选）下列说法正确的是（ ） A．对任意向量，都有 B．若且，则 C．对任意向量，都有 D．对任意向量，都有 考点2 向量数量积的运算 【例2】（2023·河南·高一校考阶段练习）在边长为2的等边中，的值是（ ） A．4 B． C．2 D． 【变式2-1】（2023·全国·高一课时练习）已知向量、满足，，且与夹角的余弦值为，则（ ） A． B． C． D．12 【变式2-2】（2023·全国·高一课时练习）已知向量，向量与的夹角都是，且，试求 （1）； （2）． 【变式2-3】（2023·湖北荆州·高一沙市中学校考期中）已知边长为1的菱形中，角，则 . 【变式2-4】（2023·安徽马鞍山·高一当涂第一中学校考期中）如图，在中，为线段上一点，若，，且与的夹角为，则的值为 . 考点3 利用数量积求向量模长 【例3】（2023·天津和平·高一统考期末）已知平面向量，且与的夹角为，则（ ） A．12 B．16 C． D． 【变式3-1】（2023·江苏·高一课时练习）已知平面向量，满足，，与的夹角为，则的值为 . 【变式3-2】（2023·全国·高一课时练习）若平面向量两两的夹角相等，且，则（ ） A．2 B．5 C．2或5 D．或 【变式3-3】（2023·河南·高一济源市第四中学校考阶段练习）已知向量，满足，，，则 ． 【变式3-4】（2023·广东佛山·高一校考阶段练习）设点、、、为四个互不相同的点，且在同一圆周上，若，且，则 . 考点4 利用数量积求向量夹角 【例4】（2023·新疆乌鲁木齐·高一校考