8.2 一元线性回归模型及其应用（教学课件）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第三册）

选修三 《第八章 成对数据的统计分析》 8.2.1 一元线性回归模型 课时目标： 研究当两个变量线性相关时，如何利用成对样本数据建立适当的统计模型，能结合具体实例了解模型及其参数的含义. 提出问题 确定研究变量 收集数据 画散点图 求回归模型 做出预报 (一元线性回归模型) 在统计学中，回归分析指的是定量分析两种或两种以上变量间相关关系的一种统计分析方法。 回归分析按照涉及的变量的个数，分为一元回归分析和多元回归分析。 回归 回归分析 定相关关系 计算r 问题背景——确定两个变量的相关关系及强弱 生活经验告诉我们，儿子身高与父亲身高存在正线性相关关系，即父亲的身高较高时，儿子的身高通常也较高. 以横轴表示父亲身高、纵轴表示儿子身高建立直角坐标系，由表中的成对样本数据作散点图，如图所示. 可以发现，散点大致分布在一条从左下角到右上角的直线附近，表明儿子身高和父亲身高线性相关.利用统计软件，求得样本相关系数为r≈0.886，表明儿子身高和父亲身高正线性相关，且相关程度较高. 为了进一步研究两者之间的关系，有人调查了14名男大学生的身高及其父亲的身高，得到的数据如表所示. 问题提出——建立两个相关变量的关系式 思考1：根据上表中的数据或散点图，儿子身高和父亲身高这两个变量之间的关系可以用函数模型刻画吗？ 存在父亲身高相同，而儿子身高不同的情况. 也存在儿子身高相同，而父亲身高不同的情况。 不符合函数的定义，可见儿子身高和父亲身高之间不是函数关系，不能用函数模型刻画. 思考2：为什么儿子身高和父亲身高有相关关系而不是函数关系？ 因为影响儿子身高的因素除了父亲身高这个主要因素外，还受其他随机因素的影响，如母亲身高、生活环境、饮食习惯、锻炼时间等. 思考3：考虑上述随机因素的影响，你能否用类似于函数的表达式来表示父亲身高x和儿子身高Y的关系？ 问题解决——建立两个相关变量的统计模型 用x表示父亲身高，Y表示儿子身高，e表示随机误差. 假定随机误差e的均值为0，方差为与父亲身高无关的定值σ2， 则它们之间的关系可以表示为： 称为Y关于x的一元线性回归模型. Y称为因变量或响应变量； x称为自变量或解释变量； a称为截距参数， b称为斜率参数； e是Y与bx+a之间的随机误差. 思考4：为什么要假设E(e)=0，而不假设它为某个不为0的常数？ 因为随机误差表示大量已知和未知的影响因素之和，因为误差是随机的，即取各种正负误差的可能性一样，它们会相互抵消，所以随机误差的期望值应为0. 理解模型——一元线性回归模型的实际意义 用x表示父亲身高，Y表示儿子身高，e表示随机误差. 则它们之间的关系可以表示为下面的一元线性回归模型： 思考5：你能结合身高案例解释上述模型的意义吗？ 由于E(Y)=bx+a，故模型可解释为父亲身高为xi的所有男大学生的身高(子总体)的均值E(Y)为bxi+a，即该子总体的均值与父亲身高是线性函数关系。 yi不一定为bxi+a，yi=bxi+a+ei，bxi+a是子总体的均值，yi只是该子总体中的一个样本值， 这个样本值yi与均值E(Y)有一个误差项ei=yi−(bxi+a). 思考6：父亲身高为xi的某一名男大学生，他的身高yi一定为bxi+a吗？ 理解为 理解模型——一元线性回归模型的实际意义 思考7：你能结合上述身高案例解释模型中产生随机误差项e的原因吗？ (1)存在其他可能影响儿子身高Y的因素，如母亲身高、生活环境、饮食习惯和锻炼时间等； (2)测量身高时，可能存在由测量工具、测量精度导致的测量误差； (3)实际问题中，我们不知道儿子身高和父亲身高的相关关系是什么，而利用一元线性回归模型来近似刻画这种关系，这种近似产生了误差. 用x表示父亲身高，Y表示儿子身高，e表示随机误差. 则它们之间的关系可以表示为下面的一元线性回归模型： 理解为 若Y与x呈现线性相关，则Y关于x的一元线性回归模型为： Y称为因变量或响应变量； x称为自变量或解释变量； a，b为参数； e是Y与bx+a之间的随机误差. 可理解为E(Y )=bx+a 课堂小结 yi不一定为bxi+a，观测值yi与子总体的均值E(Y)有一个误差项ei=yi−(bxi+a). 选修三 《第八章 成对数据的统计分析》 8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计 课时目标： 利用最小二乘法和成对样本数据估计一元线性回归模型Y=bx+a+e中的参数a和b；了解最小二乘法的原理，能利用该原理推导参数估计值的计算公式. 提出问题 确定研究变量 收集数据 画散点图 建立回归模型 做出预报 (一元线性回归模型) 定相关关系 计算r 求解回归直线 方程y=bx+a (