7.4.1 二项分布（教学课件）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第三册）

选修三《第七章 随机变量及其分布》 7.4.1二项分布 1 掷一枚硬币结果为正面向上或反面向上； 检验一件产品结果为合格或不合格； 飞碟运动员射击时中靶或脱靶； 医学检验结果为阳性或阴性； …… 上述试验都只包含两个可能结果. 把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验. 掷一颗质地均匀的硬币10次； 某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击3次； 一批产品的次品率为5%，有放回地随机抽取20件； …… (1)同一个伯努利试验重复做n次； (2)各次试验的结果相互独立. n重伯努利试验： 只关注事件A是否发生 只关注事件A发生的次数X及其概率 瑞士数学家。被公认的概率论的先驱之一。他是最早使用“积分”这个术语的人，也是较早使用极坐标系的数学家之一。还较早阐明随着试验次数的增加，频率稳定在概率附近。他还研究了悬链线，还确定了等时曲线的方程。概率论中的伯努利试验与大数定理也是他提出来的。 问题1：某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击3次，中靶次数X的概率分布列是怎样的？ 析：X的可能取值为0,1,2,3. 用Ai表示“第i次射击中靶”(i=1,2,3)， 则A1，A2，A3相互独立， 中靶次数X的分布列： 追问1：某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击5次，中靶次数X=2的概率是多少？ 追问2：某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击n次，中靶次数X的概率分布列是怎样的？ 追问3：在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p，则事件A发生的次数X的概率分布列是怎样的？ 新知1：二项分布的分布列 在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为()， 则事件发生的次数的分布列为： . 如果随机变量的分布列具有上式的形式，则称随机变量服从二项分布， 记作. 思考：对比二项分布与二项式定理，你能看出它们之间的联系吗？ 例题点拨：二项分布 例1.将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次.求： (1)恰好出现5次正面朝上的概率； (2)正面朝上出现的频率在[0.4，0.6]内的概率. 解：设A=“正面朝上”，则P(A)=0.5. 用X表示事件A发生的次数，则X~B(10，0.5). (2)正面朝上出现的频率在[0.4，0.6]内等价于4≤X≤6， 其中的伯努利试验是什么？ 重复试验的次数是多少？ 若定义每个试验中“成功”的事件为A，则A的概率是多大？ 例题点拨：二项分布 例2.如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列. 其中的伯努利试验是__________________________________. 重复试验的次数是________.各次试验结果之间是否相互独立? 定义每个试验中“成功”的事件A为___________________________. A发生的概率是________. 事件A发生的次数与所落入格子的号码X的对应关系是什么? 观察小球碰撞到小木钉后下落的方向 10 小球碰撞到小木钉后向右落下 0.5 小球最后落入格子的号码X 等于向右下落的次数 例题点拨：二项分布 例2.如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列. X的概率分布图如下图： 则小球最后落入格子的号码X等于事件A发生的次数， ∴X~B(10, 0.5)， 随机现象在偶然中蕴含着必然规律。当小球越来越多时,小球上面的轮廓曲线象正态密度曲线,这说明二项分布和正态分布之间有一定关系，概率论的中心极限定理揭示了二项分布可以用正态分布近似. 课后习题：二项分布 P77-2.鸡接种一种疫苗后，有80%不会感染某种病毒.如果5只鸡接种了疫苗，求： (1)没有鸡感染病毒的概率； (2)恰好有1只鸡感染病毒的概率. P81-3.如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次，分别求质点回到原点和质点位于4的概率. 归纳与应用：确定二项分布模型的步骤 一般地，确定一个二项分布模型的步骤如下： (1)明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率P(A)； (2)明确重复试验的次数n，并判断各次试验的独