第五章 一元函数的导数及其应用（章末小结）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第二册）

章末小结 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 1 知识网络 知识梳理——1.平均变化率 对于函数y＝f(x)， 设自变量x从x0变化到x0＋∆x， 则函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋∆x). 这时，x的变化量为∆x，y的变化量为∆y＝f(x0＋∆x)－f(x0). 把比值叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋∆x的平均变化率. ∆y ∆x 知识梳理——2.瞬时变化率(导数) 若∆x→0时，平均变化率无限趋近于唯一一个确定的值， 即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导， 并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)， 记作或， 即= 用导数定义求函数y=f(x)在x=x0的导数的基本步骤： ①计算函数的平均变化率=并化简； ②求极限，若极限值存在，则导数f '(x0)= 知识梳理——2.瞬时变化率（导数） ①若位移关于时间的函数为s(t)， 则s'(t0)表示函数s(t)在t＝t0时刻的瞬时速度，即v(t0)=s'(t0). ②若速度关于时间的函数v(t)， 则v'(t0)表示函数v(t)在t＝t0时刻的瞬时加速度，即a(t0)=v'(t0). 知识梳理——3.导数的运算 知识梳理——4.导数的几何意义 知识梳理——3.函数的单调性 知识梳理——4.函数的极值 知识梳理—5.函数的最值 知识梳理——6.六个经典函数的图像和性质 知识梳理——7.切线不等式 知识梳理——8.构造函数法比较大小&解不等式 方法归纳——1.参数的分类讨论 函数与导数的问题中，引起讨论的主要原因有： ①参数对函数类型、导函数的符号、单调区间端点的不同影响； ②函数分段； ③不等式两边同时乘(除以)某因式时，此因式的符号； ④等式变形时除以(乘)某因式时，因式是否为零； ⑤数值的大小关系等． 方法归纳——1.参数的分类讨论 导数中的含参数的讨论分四级： 一级：最高次项的系数含参数a，分a＝0，a>0，a<0三种情况依次讨论该系数．“a＝0”时，写出不含参数的f′(x)的最简洁、直观的形式；“a>0”或“a<0”时，把最高次项系数外提，化简变形(含因式分解)到最简洁、直观的形式，能直接看出根来． 二级：接一级，判断方程f ′(x)＝0是否有根，即分Δ＝0，Δ>0，Δ<0三种情况讨论．如果方程f ′(x)＝0没有实根，说明f ′(x)>0或f ′(x)<0恒成立，即f(x)单调递增或单调递减，直接写结论；如果方程f′(x)＝0有实根，求出所有的根，然后进入级别三． 方法归纳——1.参数的分类讨论 导数中的含参数的讨论分四级： 三级：接二级，判断得出的根是否在定义域内． ①若f ′(x)＝0的根不在定义域内，则f ′(x)>0或f ′(x)<0，说明函数f(x)在定义域内单调递增或单调递减，直接写出结论；②若f ′(x)＝0有一个根在定义域内，则对这个唯一的根进行列表，求出f(x)的单调递增区间和单调递减区间；③若f ′(x)＝0在定义域内有两根(包含两等根或两异根)，那么就进入四级． 四级：接三级，在三级中确定f ′(x)＝0在定义域内有两根x1，x2的情况下，讨论两根的大小． 方法归纳——2.转化与化归思想 把函数的单调性问题转化为其导数的正负、极值点个数等问题； 把切线问题转化为切点处的导数等问题； 把切线条数转化为切线方程的解的个数问题； 把函数的零点问题转化为函数图像与x轴交点等问题； 把(含参)不等式问题转化为两函数图像的上下位置关系等. 方法归纳——3.极限思想 切线位置 割线位置 无限逼近 本质：切线斜率是割线斜率的极限 切线斜率 割线斜率 无限逼近 取极限 END 常用函数的 导数公式 ；； 复合函数求导法则：内层导数×外层导数，如：，；， 导数几何意义 点 ，函数递增；，函数递减； ||越大，切线越陡，函数增/减得越快 切线方程和 切线条数 切点处的切线方程： ①若切线方程过点，则将代入上式处. ②若过点的切线方程有k条， 则有k个根 ③三次函数过点的切线方程条数满足“凹1线2凸3”，即： 已知点在曲线与过拐点的切线所分隔区域的凹区，则可作1条切线； 已知点在过拐点的切线上或曲线上，则可作2条切线； 已知点在曲线与过拐点的切线所分隔区域的凸区，则可作3条切线； (1)函数的单调性与导数：在某个区间(a，b)上，如果f ′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间上单调递增；如果f ′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间上单调递减． (2)求函数的单调区间步骤：①求函数的定义域；②求出f′(x)；③令f′(x)＝0，求出导数的零点；④用f