37立体几何中的向量方法专项训练-2024届艺术班高考数学一轮复习

37立体几何中的向量方法 专项训练—2024届艺术班高考数学一轮复习（文字版 含答案） 1．已知直线l的方向向量a＝(1，－3，5)，平面α的法向量n＝(－1，3，－5)，则有(　　) A．l∥α　　　　　 B．l⊥α C．l与α斜交 D．l⊂α或l∥α 2．(2023·南京师大附中期中)已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，1)，n＝(1，1，1)，则两平面所成的二面角的正弦值为(　　) A． B． C． D． 3．(2023·绵阳测试)如图所示，已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是上底面A1B1C1D1和侧面ADD1A1的中心，则EF和CD所成的角是(　　) A．60° B．45° C．30° D．135° 4．(2023·泰州调研)在空间直角坐标系O－xyz中，已知P，且平面OAB的法向量为n＝，则P到平面OAB的距离为(　　 ) A．2 B．4 C． D．3 5．设u＝是平面α的一个法向量，a＝是直线l的一个方向向量，则直线l与平面α的位置关系是(　　) A．平行或直线在平面内 B．不能确定 C．相交但不垂直 D．垂直 6．如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝4，则直线BB1与平面ACD1所成角的正弦值为(　　) A． B． C． D． 7．正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为2，则AC1与侧面ABB1A1所成的角为________． 8．正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为BB1，CD的中点，则点F到平面A1D1E的距离为________． 9．(2023·池州模拟)已知点A，若B，C两点在直线l上，则点A到直线l的距离为________． 10．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，PA＝PD＝，F为AB的中点，AC⊥PF． (1)求证：平面PAD⊥平面ABCD； (2)求点A到平面PDF的距离． 11．(2023·德州模拟)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BC＝4，CC1＝2，点Q为BC的中点，平面AQC1⊥平面BCC1B1． (1)证明：AQ⊥平面BB1C1C； (2)若直线AC与平面AQC1所成角的大小为30°，求锐二面角QAC1C的大小． 12．如图，在三棱锥PABC中，△PAC为等腰直角三角形，PA＝PC，AC＝2，△ABC为正三角形，D为AC的中点． (1)证明：平面PDB⊥平面PAC； (2)若二面角PACB的平面角为锐角，且三棱锥PABC的体积为，求二面角APBC的正弦值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 37立体几何中的向量方法 专项训练—2024届艺术班高考数学一轮复习（文字版 答案） 1．已知直线l的方向向量a＝(1，－3，5)，平面α的法向量n＝(－1，3，－5)，则有(　　) A．l∥α　　　　　 B．l⊥α C．l与α斜交 D．l⊂α或l∥α 解析：选B　因为a＝(1，－3，5)，n＝(－1，3，－5)，所以a＝－n，a∥n．所以l⊥平面α． 2．(2023·南京师大附中期中)已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，1)，n＝(1，1，1)，则两平面所成的二面角的正弦值为(　　) A． B． C． D． 解析：选B　由两平面的法向量分别为m＝(0，1，1)，n＝(1，1，1)， 可得cos〈m，n〉＝＝＝， 设两平面所成的二面角为θ，其中θ∈[0，π]，可得sin θ＝＝． 即两平面所成的二面角的正弦值为． 3．(2023·绵阳测试)如图所示，已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是上底面A1B1C1D1和侧面ADD1A1的中心，则EF和CD所成的角是(　　) A．60° B．45° C．30° D．135° 解析：选B　以D为原点，分别以射线DA，DC，DD1为x轴、y轴、z轴的非负半轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为1，则D(0，0，0)，C(0，1，0)，E(，，1)，F(，0，)，＝(0，－，－)，＝(0，1，0)， ∴cos〈，〉＝＝－， ∴〈，〉＝135°，∴异面直线EF和CD所成的角是45°．故选B． 4．(2023·泰州调研)在空间直角坐标系O－xyz中，已知P，且平面OAB的法向量为n＝，则P到平面OAB的距离为(　　 ) A．2 B．4 C． D．3 解析：选C　依题意＝，平面OAB的法向量为n＝， 所以点P到平面OAB的距离d＝＝＝． 5．设u＝是平面α的一个法向量，a＝是直线l的一个方向向量，则直线l与平面α的位置关系是(　　) A．平行或直线在平面内 B．不能确定 C．相交但不垂直 D．垂直 解析：