10.3复数的三角形式及其运算课件-2023-2024学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册

课时6 复数的三角形式及其运算 新授课 1.通过复数的几何意义，了解复数的三角形式及其相关概念. 2.能够进行复数的代数形式与三角形式之间的转化. 学习活动 学习目标 学习总结 2 目标一：通过复数的几何意义，了解复数的三角形式及其相关概念. 任务：结合平面向量的坐标表示，推导复数的三角形式. 问题：设 复数在复平面内对应的点为Z， (1)写出Z的坐标，并在图中描出点Z的位置，作出向量 ，并求出 的模r的值和 与x轴正半轴的夹角的值. O y x Z (2)探讨r，θ与 的实部、虚部之间的关系. 向量 如图所示. 学习活动 学习目标 学习总结 思考：根据上述问题，该如何用复平面向量的r和θ去表示复数 ？ 记向量的模 ， 由图可知 ， 所以 其中 y x O a b r θ Z:a+bi 学习活动 学习目标 学习总结 一般地，如果非零复数 在复平面内对应点Z(a,b)，且r为向量 的模，是θ以x轴正半轴为始边，射线OZ为终边的一个角，则 概念讲解 上式是复数的三角形式，对应z=a+bi的称为复数的代数形式. 其中 θ称为z的辐角. 学习活动 学习目标 学习总结 任何一个非零复数z的辐角都有无穷多个，而且任意两个辐角之间都相差2π的整数倍.特别地，在［0，2π)内的辐角称为z的辐角主值，记作arg z. 注：任意复数都可以写成三角形式，其中0＝0(cos θ+isin θ)为复数0的三角形式，此时θ可以为任意值. 学习活动 学习目标 学习总结 练一练 A． B． C． D． 判别下列复数是否是三角形式( ) D 学习活动 学习目标 学习总结 归纳总结 复数三角形式的结构特征注意事项： (1)复数的实部是rcosθ，虚部是rsinθ； (2)r≥0； (3)cosθ，sinθ分别是同一个角的余弦值和正弦值； (4)cosθ与isinθ之间用“+”相连； (5)用同一个辐角θ，但不一定要求是辐角主值. 学习活动 学习目标 学习总结 目标二：能够进行复数的代数形式与三角形式之间的转化. 任务：根据复数的三角形式，将复数代数形式转化为三角形式. 把下列复数的代数形式改写成三角形式. (1)1-i; (2)2i; (3)-1. 解：(1)法1：因为模长 所以可取 所以 法2： 学习活动 学习目标 学习总结 (2)因为2i在复平面内所对应的点在y轴的正半轴上， 所以可知 ，从而可知 (3)因为-1在复平面内所对应的点在y轴的正半轴上， 所以可知|-1|=1，arg(-1)=π，从而可知-1=cosπ+sinπi. 思考：将复数代数形式转化为三角形式有哪些方法步骤？ (2)2i; (3)-1. 学习活动 学习目标 学习总结 归纳总结 复数代数形式转化为三角形式的方法： 1.由 定模； 2.由 及点所在象限定辐角(一般情况下定出辐角主值即可)； 3.写出三角形式r(cosθ+sinθ). 注：a为正实数时，有： 学习活动 学习目标 学习总结 练一练 把复数 表示成三角形式. ∴所求复数的三角形式为 . ∴θ可以取 ， 解： 学习活动 学习目标 学习总结 任务：根据下列关键词，构建知识导图. “复数三角形式”、“辐角”、“辐角主值”. 复数的三角表示式 辐角 三角表示 辐角主值 θ是以x轴的非负半轴为始边， 向量 所在射线为终边的角 r(cosθ+isinθ)叫做复数z=a+bi的三角表示式 在0≤θ≤2π范围内的辐角的值 学习活动 学习总结 学习目标 $$