10.2.2 复数的乘、除运算课件-2023-2024学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册

课时4 复数的乘、除运算 新授课 导入：我们知道两个实数的乘法对加法来说满足分配律，即a,b,c∈R时，有 c(a+b)=ac+bc 而且，实数的正整数次幂满足 aman=am+n,(am)n=amn,(ab)n=anbn， 其中m,n均为正整数，那么，复数的乘法应该如何规定，才能使得类似的运算法则仍成立呢？ 1.掌握复数的乘法法则及运算律. 2.掌握复数的乘法公式、复数的正整数幂的运算律以及in的周期性规律. 学习活动 学习目标 学习总结 3 目标一：掌握复数的乘法法则及运算律. 任务：猜想、讨论复数z1=a+bi与z2=c+di的积的表达式. 问题1：设z1=3,z2=1-2i,z3=-5i,你认为z1z2的值与z2z3的值分别等于多少？ 问题2：尝试给出任意两个复数z1=a+bi与z2=c+di相乘的表达式. 学习活动 学习目标 学习总结 归纳总结 一般地，设z1=a+bi与z2=c+di(a，b，c，d∈R)，称z1z2(或z1×z2)为z1与z2的和，并规定 z1z2 =(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i 显然，两个复数的积仍然是复数. 即算两个复数的积，只需要按照多项式乘法的方式进行，并利用i2=-1即可. 学习活动 学习目标 学习总结 问题3：复数乘法是否满足交换律、结合律和乘法对加法的分配律呢?请同学们用z1=a+bi与z2=c+di证明其中的交换律. 满足， 又因为 所以z1·z2=z2·z1，所以满足乘法的交换律. 复数乘法的结合律和乘法对加法的分配律同理可证. 学习活动 学习目标 学习总结 归纳总结 复数的乘法运算满足交换律与结合律，且对加法满足分配律，即对任意复数对任意z1，z2，z3∈C，有 (交换律) (结合律) (乘法对加法的分配律). 学习活动 学习目标 学习总结 练一练 已知复数z1=3+4i,z2=3-4i，则z1·z2=( ) A．16i　　　　B．9 C．25i D．25 D 解析： 学习活动 学习目标 学习总结 目标二：掌握复数的乘法公式、复数的正整数幂的运算律以及in的周期性规律. 任务1：根据复数的乘法运算，解决下列问题. 问题1：已知a，b∈R，求证： . 证明：根据复数乘法的定义有： 学习活动 学习目标 学习总结 归纳总结 共轭复数的乘积等于其模的平方： 学习活动 学习目标 学习总结 问题2：计算(1+i)2与(1-i)2的值. 学习活动 学习目标 学习总结 归纳总结 1.复数乘法在计算过程中还是按照多项式乘法的方式进行，其中多项式运算中的代数公式也适用于复数的乘法，包括： 2.等式两边同乘一个复数，等式仍然成立，即当z1=z2时，必定有z1z=z2z. 完全平方公式： 平方差公式： 例如： 学习活动 学习目标 学习总结 任务2：根据复数的正整数幂的运算律探索in的周期性规律. n个相同的复数z相乘时，仍称为z的n次方(或n次幂)，并记作zn，即 新知讲解 实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立，即 (其中z1，z2∈C，m、n为正整数) 学习活动 学习目标 学习总结 根据复数正整数指数幂的乘方运算法则，计算 的值，并总结出 的取值规律. 练一练 学习活动 学习目标 学习总结 归纳总结 in的周期性规律: 学习活动 学习目标 学习总结 任务：根据下列关键词，构建知识导图. “乘法运算”、“乘法公式”、“共轭复数”、“正整数幂” 学习活动 学习总结 学习目标 $$