精品解析：上海市松江二中2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题

松江二中2023学年第一学期期末考试 高二数学 考生注意： 1．试卷满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，务必在答题纸贴二维码并填写考号、姓名、班级（等级考填写任课老师姓名）.作答必须涂或写在答题纸上，在试卷上作答一律不得分. 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知集合，函数的定义域为集合，则________ 2. 已知数列的前项和为，则______. 3. 直线与直线的夹角大小为___________ 4. 已知直线和互相平行，则它们之间的距离是___________. 5. 若的二项展开式的第9项为常数项，则________ 6. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G，H分别是各自所在棱的中点，则平面到平面ABGH的距离是______． 7. 饺子是我国的传统美食，不仅味道鲜美而且寓意美好.现锅中煮有白菜馅饺子4个，韭菜馅饺子5个，这两种饺子的外形完全相同.从中任意舀取4个饺子，则每种口味的饺子都至少舀取到1个的概率为_________ 8. 将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，5个剩余分数的平均分为22，现场作的7个分数的茎叶图，后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示，则5个剩余分数的方差为________ 9. 已知向量垂直于直线的法向量，过、分别作直线的垂线，对应垂足为和，若，则实数的值为________ 10. 已知球体积为，高为1的圆锥内接于球O，经过圆锥顶点的平面截球和圆锥所得的截面面积分别为，若，则_________ 11. 已知分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为__________ 12. 设为的一个排列，满足，则这样的排列的个数为_______个. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 已知均为实数，且不同时为零，不同时为零，则“”是“关于的方程组有无数组解”的（ ）条件 A 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 14. 某校读书节期间，共120名同学获奖（分金、银、铜三个等级），从中随机抽取24名同学参加交流会，若按高一、高二、高三分层随机抽样，则高一年级需抽取6人；若按获奖等级分层随机抽样，则金奖获得者需抽取4人．下列说法正确的是（ ） A. 高二和高三年级获奖同学共80人 B. 获奖同学中金奖所占比例一定最低 C. 获奖同学中金奖所占比例可能最高 D. 获金奖的同学可能都在高一年级 15. 正方形的边长为12，其内有两点、，点到边、的距离分别为3，2，点到边、的距离也是3和2．现将正方形卷成一个圆柱，使得和重合（如图）．则此时、两点间的距离为（ ） A. B. C. D. 16. 四个村庄A、B、C、D之间建有四条路AB、BC、CD、DA.在某个月的30天里，每逢奇数日开放AB、CD，封闭BC、DA；每逢偶数日开放BC、DA，封闭AB、CD. 游客小明起初住在村庄A，在该月第k天，他以的概率沿当天开放的道路去往相邻村庄投宿，以的概率留在当前村庄，设小明在30天内的选择相互独立，则第30天结束时，小明在村庄B的概率是（ ） A B. C. D. 三、解答题(本大题共有5题，满分78分)解答下列各题必须写出必要的步骤． 17. 已知. （1）求的值； （2）设，求被6除的余数. 18. 如图，四棱锥中，底面是平行四边形，平面，点是中点，分别是的中点． （1）求证：； （2）求三棱锥的体积． 19. 甲乙两人进行投篮比赛，两人各投一次为一轮比赛，约定如下规则：如果在一轮比赛中一人投进，另一人没投进，则投进者得分，没进者得分，如果一轮比赛中两人都投进或都没投进，则都得0分，当两人各自累计总分相差4分时比赛结束，得分高者获胜．在每次投球中甲投进的概率为0.5，乙投进的概率为0.6，每次投球都是相互独立的．在每一轮比赛中，记甲得1分的概率为，乙得1分的概率为，两人都得0分的概率为. （1）求的值； （2）若两人起始分都为0分，求恰好经过4轮比赛，甲获胜的概率． 20. 已知一条动直线3(m+1)x+(m-1)y-6m-2=0， （1）求证：直线恒过定点，并求出定点P的坐标； （2）若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在直线满足下列条件：①△AOB的周长为12；②△AOB的面积为6，若存在，求出方程；若不存在，请说明理由. （3）若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，当取最小值时，求直线的方程. 21. 设数列的前项和为．若对任意的正整数，总存在正整数，使得，则称是“数列”． （1）若数列，，判断和是否是“数列”； （2）设是等差数列，其首项，公