第10讲 离散型随机变量的均值与方差-【寒假预科讲义】2024年高二数学寒假精品课（人教A版2019）

第10讲 离散型随机变量的均值与方差 【人教A版2019】 ·模块一 离散型随机变量的均值 ·模块二 离散型随机变量的方差 ·模块三 课后作业 模块一 离散型随机变量的均值 1．离散型随机变量的均值 (1)定义 一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示： X x1 x2 xn P p1 p2 pn 则称E(X)=+++++为离散型随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称 期望，它反映了随机变量取值的平均水平. (2)对均值(期望)的理解 求离散型随机变量的期望应注意： ①期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均. ②E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即作为随机变量，X是可变的，可取不同值，而E(X)是 不变的，它描述X取值的平均状态. ③均值与随机变量有相同的单位. 2．均值的性质 若离散型随机变量X的均值为E(X)，Y=aX+b，其中a,b为常数，则Y也是一个离散型随机变量，且 E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b. 特别地，当a=0时，E(b)=b； 当a=1时，E(X+b)=E(X)+b； 当b=0时，E(aX)=aE(X). 【考点1 均值的性质】 【例1.1】（2023下·重庆·高二校联考期末）已知随机变量的期望为，则（    ） A．9 B．11 C．27 D．29 【例1.2】（2023·高二课时练习）设的分布列如表所示，又设，则等于（ ） 1 2 3 4 A． B． C． D． 【变式1.1】（2023·高二课时练习）设离散型随机变量X的分布列为P(X=0)=0.2，P(X=1)=0.6，P(X=2)=0.2，则=（    ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 【变式1.2】（2023·全国·高二专题练习）若，是离散型随机变量，且，其中，为常数，则有.利用这个公式计算（ ） A． B． C． D．不确定 【考点2  求离散型随机变量的均值】 【例2.1】（2023上·高二课时练习）现有10张奖券，8张2元的、2张5元的，某人从中随机抽取3张，则此人得奖金额的均值是（    ） A．6 B．7.8 C．9 D．12 【例2.2】（2023下·陕西宝鸡·高二统考期末）某人共有三发子弹，他射击一次命中目标的概率是，击中目标后射击停止，射击次数X为随机变量，则期望（     ） A． B． C． D． 【变式2.1】（2023上·高二课时练习）某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜错得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和X的均值（    ） A．0.9 B．0.8 C．1.2 D．1.1 【变式2.2】（2023上·高二单元测试）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的.记X为该毕业生得到面试的公司个数.若，则随机变量X的均值（    ） A． B． C． D． 【考点3  由离散型随机变量的均值求参数】 【例3.1】（2023下·山西忻州·高二统考期中）某同学求得的一个离散型随机变量的分布列为（    ） X 1 2 3 P 0.2 m n 若，则（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【例3.2】（2023上·全国·高三专题练习）已知随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 且，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（2023·全国·高三对口高考）设离散型随机变量可能取的值为1，2，3，4．．又的数学期望，则（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（2023·全国·高二专题练习）某实验测试的规则是：每位学生最多可做实验3次，一旦实验成功，则停止实验，否则一直做到3次为止.设某学生一次实验成功的概率为，实验次数为随机变量，若的数学期望，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 模块二 离散型随机变量的方差 1．离散型随机变量的方差、标准差 (1)定义 设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn 则称D(X)=+++=为随机变量X 的方差，并称为随机变量X的标准差，记为(X). (2)意义 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程 度.方差或标准差越小，随机变量的取值越