专题1.3 直角三角形【八大题型】-2023-2024学年八年级数学下册举一反三系列（北师大版）

专题1.3 直角三角形【八大题型】 【北师大版】 【题型1 添加条件利用HL使三角形全等】 1 【题型2 判断三角形全等的依据】 2 【题型3 利用HL证明全等】 4 【题型4 利用HL和全等三角形的性质证明线段线段】 5 【题型5 利用HL和全等三角形的性质证明角度相等】 7 【题型6 利用HL解决坐标与图形问题】 8 【题型7 写出某个命题的逆命题】 9 【题型8 判断逆命题的真假】 10 【知识点1 直角三角形全等的判定】 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.这一定理简称为“斜边、直角边”或“HL”. 【题型1 添加条件利用HL使三角形全等】 【例1】（2023上·北京海淀·八年级校考期中）阅读下面材料： 已知线段a，b． 求作：，使得斜边，一条直角边． 作法： （1）作射线、，且． （2）以A为圆心，线段b长为半径作弧，交射线于点C． （3）以C为圆心，线段a长为半径作弧，交射线于点B． （4）连接．则就是所求作的三角形． 上述尺规作图过程中，用到的判定三角形全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2023下·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，已知，若用判定，只需添加的一个条件是 ． 【变式1-2】（2023下·山东青岛·八年级统考期中）如图，已知点B，E，F，C在同一条直线上，，，，若添加一个条件（不再添加新的字母）后，能判定与全等，则添加的条件可以是 （写出一个条件即可）． 【变式1-3】（2023下·安徽宿州·八年级统考期末）如图，于点D，于点F，要根据“”证明，则还需要添加的条件是（    ）    A． B． C． D． 【题型2 判断三角形全等的依据】 【例2】（2023上·福建泉州·八年级校考期中）如图，用三角尺可以画角平分线：在已知的两边上分别取点，，使，再过点画的垂线，过点画的垂线，两垂线交于点，画射线．可以得到，所以，那么射线就是的平分线．的依据是（    ）    A． B． C． D． 【变式2-1】（2023上·江苏南京·八年级校联考期末）如图，已知，垂足为，，，则可得到，理由是（   ）    A． B． C． D． 【变式2-2】（2023上·河北邯郸·八年级校考期中）如图，有两个长度相等的滑梯靠在墙上，且墙与地面垂直，滑梯的高度与滑梯的水平宽相等，则的依据是（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】（2023下·广东深圳·八年级统考期末）在课堂上，陈老师发给每人一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小赵和小刘同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示．    对这两种画法的描述中正确的是（    ） A．小赵同学作图判定的依据是 B．小赵同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 C．小刘同学作图判定的依据是 D．小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 【题型3 利用HL证明全等】 【例3】（2023·四川泸州·统考模拟预测）如图，，，，、是垂足，，求证：．    【变式3-1】（2023上·福建厦门·八年级统考期末）如图是，根据下列尺规作图痕迹作出的，能够用于说明“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”的是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式3-2】（2023上·河南驻马店·八年级统考期中）学习了全等三角形的判定方法后，我们知道“已知两边和一角分别相等的两个三角形不一定全等”，但下列两种情形还是成立的．    (1)第一种情形（如图） 在和中，，，，则根据______，得出，并写出推理过程； (2)第二种情形（如图） 在和中，（和均为钝角），，，求证：．（提示：分别过点A、点D添加一条辅助线，构造全等） 【变式3-3】（2023上·山东聊城·八年级校联考阶段练习）如图所示，已知于F，于E，则图中全等的三角形共有（　　）    A．4对 B．3对 C．2对 D．1对 【题型4 利用HL和全等三角形的性质证明线段线段】 【例4】（2023上·河北衡水·八年级校考期末）如图，在中，，，于E，点F在边上，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)若，直接写出线段，，的数量关系． 【变式4-1】（2023下·吉林长春·八年级校考期末）如图，在中，，，，，垂足分别为点D、E，交于点F．    (1)求证：； (2)若 ，，，则的长______． 【变式4-2】（2023上·山东泰安·八年级统考期中）如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160m．假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请