第04讲： 整式的乘除与分解因式-2023-2024学年八年级数学寒假同步精讲精练系列（人教版）

第04讲： 整式的乘除与分解因式 【考点梳理】 考点一：整式乘除 考点二：平方差公式 考点三：完全平方公式 考点四：完全平方式 考点五：乘法公式的应用 考点六：提取公因法因式分解 考点七：公式法法因式分解 考点八：十字相乘法因式分解 考点九：分组法因式分解 考点十：因式分解强化训练 考点十一：因式分解的应用 【知识梳理】 知识一：整式的乘法 （1）同底数幂的乘法：（m,n都是正整数） 即：同底数幂相乘，底数不变，指数相加； （2） 幂的乘方：（m,n都是正整数） 即：幂的乘方，底数不变，指数相乘； （3） 积的乘方：（n是正整数） 即：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得幂相乘； 整式的乘法： ⑴单项式单项式：系数系数，同字母同字母，不同字母为积的因式. ⑵单项式多项式：用单项式乘以多项式的每个项后相加. ⑶多项式多项式：用一个多项式每个项乘以另一个多项式每个项后相加. 知识二：乘法的公式 （1） 平方差公式： （2） 完全平方公式： （3） 添括号：①如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号； ②如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号； 知识三：整式的除法 （1） 同底数幂的除法：（a‡0 , m , n都是正整数，并且m>n） 即：同底数幂相除，底数不变，指数相减； （2） 规定： 即：任何不等于0的数的0次幂都等于1； （3） 整式的除法：①单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则把连同它的指数作为商的一个因式；②多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得商相加； 知识四：因式分解 （1） 因式分解： （2） 把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做因式分解；（也叫做把这个多项式分解 因式）； （3） 公因式：多项式的各项都有的一个公共因式； （4） 因式分解的方法： ⑴提公因式法：找出最大公因式. ⑵公式法： 3 平方差公式： ②完全平方公式： ③立方和： ④立方差： ⑶十字相乘法： 【题型归纳】 题型一：整式乘除 1．（2024上·黑龙江牡丹江·八年级统考期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2023上·重庆渝中·八年级重庆市求精中学校校考期中）计算： (1)；(2)． 3．（2024上·河南周口·八年级校联考期末）化简求值∶ (1)，其中； (2)，其中． 题型二：平方差公式 4．（2023上·山东德州·八年级校考期中）下列能使用平方差公式的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024上·广西防城港·八年级统考期末）如图，在边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开，拼成一个矩形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的等式是（    ） A． B． C． D． 6．（2023上·四川宜宾·八年级统考期中）在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（，如图1），把余下部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证公式（    ） A． B． C． D． 题型三：完全平方公式 7．（2023上·河南南阳·八年级校考阶段练习）下列运算：①；②；③；④．其中，运算错误的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（2024上·天津西青·八年级统考期末）已知，，则的值为（    ） A．1 B．7 C．15 D．17 9．（2023上·湖北黄冈·八年级校联考阶段练习）用若干个形状，大小完全相同的长方形纸片围成正方形，4个长方形纸片围成如图1所示的正方形，其阴影部分的面积为；8个长方形纸片围成如图2所示的正方形，其阴影部分的面积为；个长方形纸片围成如图3所示的正方形，其阴影部分的面积为（    ） A．24 B．36 C．49 D．64 题型四：完全平方式 10．（2024上·宁夏吴忠·八年级校考期末）若二次三项式是一个完全平方式，则m为（    ） A．1.5 B．1.5或 C．2.5 D．2.5或 11．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）若是完全平方式，则的值是（    ） A．或 B．7或 C．或 D．7或 12．（2023上·重庆·八年级四川外国语大学附属外国语学校校考期中）若多项式是关于的完全平方式，则的值为（    ） A． B．13或 C．或 D． 题型五：乘法公式的应用 13．（2024上·天津·八年级天津外国语大学附属外国语学校校考期末）若，． (1)化简x、y； (2)求． 14．（2024上·甘肃定西·八年级统考期末）阅读材料：若满足，求的值． 解：设，，则， 所以 请仿照上例解决下面的问题： (1)问题发现：若x满足，求：的