6.2.4向量的数量积 同步练习-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.2.4向量的数量积——高一数学人教A版（2019）必修二课堂速测 基础知识 1.向量的夹角：已知两个非零向量，是平面上的任意一点，作，，则叫做向量与的 .记作 . 当时，向量 ；当时，向量垂直，记作 ；当 时，向量反向. 2.平面向量数量积的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为，把数量叫做向量与的 （或内积），记作 ，即 . 3.投影向量的定义：如图，设是两个非零向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，这种变换称为向量向向量 ，叫做向量在向量上的 . 4.向量数量积的性质：设是非零向量，它们的夹角是是与方向相同的单位向量，则 （1） . （2） . （3）当与同向时， ；当与反向时， .特别地，或. （4）由可得， . （5） 5.向量数量积的运算律： 交换律： ； 数乘结合律： ； 分配律： . 练习 1.已知正四面体ABCD的棱长为a，点E，F分别是BC，AD的中点，则的值为( ) A. B. C. D. 2.在边长为3的等边中，点满足，则( ) A. 9 B. C. 6 D. 3.已知，，，则向量a在向量b上的投影为( )。 A. B.3 C.4 D.5 4.已知非零向量a，b满足，则a与b的夹角为( ) A. B. C. D. 5.（多选）已知向量,满足且,则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 6.已知a、b是平面内两个互相垂直的单位向量，若c满足，则的最大值为__________. 7.已知向量，的夹角为，且，，则___________. 8.如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，点F，G分别是AD，BC的三等分点（，）.设，. （1）用a，b表示，. （2）如果，，有什么位置关系？用向量方法证明你的结论. 答案以及解析 基础知识 1.夹角 同向 2.数量积 3.投影 投影向量 4. 5. 练习 1.答案：C 解析：由题意得，. 2.答案：C 解析：由得，即，则．故选：C． 3.答案：A 解析：因为，设两向量的夹角为，由向量数量积的几何意义有，所以，即向量a在向量b上的投影为。 4.答案：B 解析：由题知非零向量a，b满足，将等式两边同时平方可得，展开可得，化简可得，故a与b的夹角为，故选B. 5.答案：AD 解析:因为,所以; 因为,所以,所以,故C错误,D正确; 因为,所以,A正确; 因为,所以,B错误; 故选:AD. 6.答案： 解析：，，即，所以. 7.答案： 解析：因为向量，的夹角为，，， 所以， 所以， 所以. 故答案为：. 8.答案：（1）； （2），证明见解析 解析：（1）； . （2）.证明如下： 由（1）知，，， . ，. 学科网（北京）股份有限公司 $$