5.7三角函数的应用讲义--2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

§5.7三角函数的应用 【类型一】三角函数在实际生活中的应用 【例题】已知某地一天从4点到16点的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin(x－)＋20，x∈[4,16]． (1)求该地区这一段时间内温度的最大温差； (2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？ 答案解析：(1)x∈[4,16]，则x－∈[－，]．由函数图像易知，当x－＝，即x＝14时，函数取最大值即最高温度为30 ℃，当x－＝－，即x＝6时，函数取最小值即最低温度为10 ℃，所以，最大温差为30 ℃－10 ℃＝20 ℃. (2)令10sin(x－)＋20＝15，可得sin(x－)＝－，而x∈[4,16]，所以，x＝. 令10sin(x－)＋20＝25，可得sin(x－)＝，而x∈[4,16]，所以，x＝. 故该细菌的存活时间为－＝(小时)． 规律感悟：1．现实生活中许多具有周期性的现象都可建立三角函数模型．如本题中一天从4点到16点的气温，具有周而复始的特征，所以可用三角函数模型描述． 2．建立三角函数模型解决实际问题的步骤是： (1)收集与角有关的信息，确定相应的三角模型；(2)建立三角函数关系式；(3)求解；(4)作答． ★举十反一★ 1.如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m，60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面距离为h. (1)求h与θ间的函数关系式； (2)设从OA开始转动，经过t秒后到达OB，求h与t之间的函数解析式，并求缆车第一次到达最高点时用的最少时间是多少？ 2.已知电流I＝Asin(ωt＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)在一个周期内的图像如图 (1)根据图中数据求I＝Asin(ωt＋φ)的解析式； (2)如果t在任意一段秒的时间内，电流I＝Asin(ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？ 3.电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<)的图象如图所示，则当t＝秒时，电流强度是________安。 4.(12分)下表是芝加哥1951～1981年月平均气温(华氏)． 月份 1 2 3 4 5 6 平均气温 21.4 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6 月份 7 8 9 10 11 12 平均气温 73.0 71.9 64.7 53.5 39.8 27.7 以月份为x轴，x＝月份－1，以平均气温为y轴． (1)描出散点图． (2)用正弦曲线去拟合这些数据． (3)这个函数的周期是多少？ (4)估计这个正弦曲线的振幅A. (5)选择下面四个函数模型中哪一个最适合这些数据？ ①＝cos()；　　　②＝cos()； ③＝cos(); ④＝sin()． 5.某地夏天8～14时用电量变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b.(A>0，ω>0，|φ|<) (1)求这一天的最大用电量及最小用电量； (2)写出这段曲线的函数解析式． 6.如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，此矩形沿地面上一直线滚动，在滚动过程中始终与地面垂直，设直线BC与地面所成角为θ，矩形周边上最高点离地面的距离为f(θ)． 求：(1)θ的取值范围； (2)f(θ)的解析式； (3)f(θ)的值域． 7.如图所示，某大风车的半径为2 m，每12 s旋转一周，它的最低点O离地面0.5 m，风车圆周上一点A从最低点O开始运动，运动t(s)后与地面的距离为h(m)． (1)求函数h(t)的关系式； (2)画出函数h(t)的图像． 8.交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝220·sin来表示，求： (1)开始时电压； (2)电压值重复出现一次的时间间隔； (3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间． 9.单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系为s＝6sin. (1)作出它的图像； (2)单摆开始摆动时，离开平衡位置多少厘米？ (3)单摆摆动到最右边时，离开平衡位置多少厘米？ (4)单摆来回摆动一次需要多少时间？ 10.某港口的水深y(单位：m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，下面是水深数据： t/h 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/m 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 根据上述数据描出曲线，如图所示，经拟合，该曲线可近似地看做函数y＝Asin ωt＋b的图像． (1)试根据以上数据，求函数解析式； (2)一般情况下，船舶航行时，船底