2023年江苏省宿迁市宿迁中学创新人才班自主招生数学试卷

科学素养选拔考试 数学部分 （满分 120分，时间 90分钟） 一、填空题（本大题共 14小题，每小题 4分，共计 56分） 1.已知 6张不同的卡片上分别写有数字 2，2，4，4，6，6，若从中任取 3张，则这 3张卡片上所写的数字 可以作为三角形的三边长的概率是__________. 2.已知关于 x的不等式组 2 5 5 3 3 2 x x x t x          恰好有 5个整数解，则 t的取值范围是_________. 3.在平面直角坐标系内有两点 A（1，1），B（2，3），若一次函数 2y kx  的图象与线段 AB有公共点， 则 k的取值范围为_________. 4.如图，在△ABC中，已知 BD和 CE分别是两边上的中线，并且 BD⊥CE，BD＝4，CE＝6，那么△ABC 的面积等于_____________. （第 4题） （第 6题） （第 7题） 5.如果关于 x的方程  2 1 0 0x px p    的两根之差是 1，那么 p的值为_________· 6.如图，在四边形 ABCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，AB＝AC＝ 5，CD＝1，对角线的交点为M，则 DM 的长为_________. 7.将正偶数排列成如图所示的数阵，把从上向下第 i行从左向右第 j个数表示为 ija ，例如第 4行第 3个数为 43 18a  ，若 2560ija  ，则 i＋j＝_____________. 8.已知二次函数  2 1 0y ax bx a    的图象的顶点在第二象限，且过点（1，0）.当 a－b为整数时，ab 的值为_____________. 9.如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”，如：2＝13－（－1）3， 26＝33－13，2和 26均为“和谐数”.那么，不超过 2016的正整数中，所有的“和谐数”之和为_____________. 10. 如图，已知直线  0y kx k  与双曲线 8y x  相交于 A、B两点，其中点 A在第一象限.以 AB为斜边 作等腰直角△ABC，顶点C位于第四象限，边AC交 x轴于点D，若AD＝2CD，则点C的坐标是_____________. （第 10题） （第 11题） 11. 若关于 x的方程 2 4 3x x b   有四个不相等的实数根，则 b的取值范围是_____________. 12.已知点 P的坐标（x，y）满足    2 1 3 14 0m x m y     （m是常数），当 m的值是_________时， 线段 2 5PO  . 13.如图，已知AB为⊙O的直径，C为圆周上一点，D为线段 OB上一点（不是端点），满足 CD⊥AB，DE⊥CO， E为垂足，若 CE＝10，且 AD与 DB的长均为正整数，则线段 AD的长为_____________. 14.已知 x，y为实数，且满足 2 24 4x xy y   ，记 2 24u x xy y   的最大值为 M，最小值为 m，则 M ＋m＝_____________. 二、解答题（本大题共 6小题，共计 64分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（10分）已知点  0 0,P x y 和直线 y kx b  ，则点P到直线 y kx b  的距离d可用公式 0 0 21 kx y b d k     计算，利用公式解决下列问题： （1）求直线 2 1y x  与直线 2 5y x  之间的距离. （2）已知直线 4 4 3 y x   分别交 x，y轴于 A，B两点，⊙C是以 C（2，2）为圆心，2为半径的圆，P 为⊙C上的动点，试求出△PAB面积的最大值. 16（未题满分 10分）已知△ABC中，CD是边 AB上的中线，G为线段 CD上一点，且 CD＝3GD，过点 G 作直线分别交 AC，BC于点 P，Q设 CA＝mCP，CB＝nCQ，求 m＋n的值. 17.（本题满分 10分）期中考试结束后，某班级准备花 346元钱购买钢尺、钢笔、笔记本三种文具奖励成绩 优秀的同学。已知钢尺每把 5元，钢笔每支 7元，笔记本每本 10元，且购买的钢笔数量是笔记本数量的 2 倍，若使购买的文具总数最多，则这三种文具的购买数量各为多少? 18.（本题满分 10分）如图，⊙O的内接四边形 ABCD中，对角线 AC平分∠BAD，点 I是 AC的中点，且 BI平分∠ABD.求证： （1）OI是△IBD的外接圆的切线； （2）AB＋AD＝2BD. 19.（本题满分 12分）自变量为 x的函数通常记为 f