寒假作业13 全等三角形的基本模型（14道经典题型+4道中考真题）-【寒假分层作业】2024年八年级数学寒假培优练（人教版）

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 寒假作业13 全等三角形的基本模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本课时就全等三角形中的六类基本模型（倍长中线模型、截长补短模型、一线三等角（K字）模型、手拉手（旋转）模型、半角模型、对角互补模型）进行专项训练，方便同学们熟练掌握. 1．如图，在中，AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于（　　） A．3 B．2 C． D． 2．如图，在中，，，将绕点A顺时针方向旋转60°到的位置，连接，则的度数为（    ） A．15° B．20° C．30° D．45° 3．如图，在中，，，D，E是斜边上的两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 4．如图，中，点为的中点，，，，则的面积是______． 5．如图，与有一条公共边AC，且AB=AD，∠ACB=∠ACD=x，则∠BAD=________．（用含有x的代数式表示） 6．如图，在中，，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，垂足分别为D，E．若，求DE的长． 7．如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，把∠EDF绕点D旋转，使∠EDF的两边分别与线段AB、AC交于点E、F． （1）当DF⊥AC时，求证：BE=CF； （2）在旋转过程中，BE+CF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 8．如图，点为等边外一点，，，点，分别在和上，且，，，则的边长为______． 9．如图，在中，，平分． （1）如图1，若，求证：； （2）如图2，若，求的度数； （3）如图3，若，求证：． 10．已知CD是经过∠BCA的顶点C的一条直线，CA＝CB，E，F是直线CD上两点，∠BEC＝∠CFA＝∠α． （1）若直线CD经过∠BCA的内部，∠BCD＞∠ACD． ①如图1，∠BCA＝90°，∠α＝90°，写出BE，EF，AF间的等量关系：　 　． ②如图2，∠α与∠BCA具有怎样的数量关系，能使①中的结论仍然成立？写出∠α与∠BCA的数量关系 　 　． （2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，①中的结论是否成立？若成立，进行证明；若不成立，写出新结论并进行证明． 11．综合与实践：（1）如图1，在正方形ABCD中，点M，N分别在AD，CD上，若∠MBN＝45°，则线段MN，AM，CN的等量关系为 　 　． （2）如图2，在四边形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，点M，N分别在AD，CD上，若∠MBN＝∠ABC，试探索线段MN，AM，CN有怎样的等量关系？请写出猜想，并给予证明． （3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，点M，N分别在DA，CD的延长线上，若∠MBN＝∠ABC，则线段MN，AM，CN的等量关系为 　 　． 12．【教材呈现】下面是某版本教材的内容： 如图，在中，D是边BC的中点，过点C画直线CE，使，交AD的延长线于点E，求证：. 证明：∵，（已知） ∴，，（两直线平行，内错角相等） 在与中，∵，（已证），，（已知） ∴，∴．（全等三角形的对应边相等） （1）【方法应用】如图①，在中，，，则BC边上的中线AD长度的取值范围是______． （2）【猜想证明】如图②，在四边形ABCD中，，点E是BC的中点，若AE是的平分线，试猜想线段AB、AD、DC之间的等量关系，并证明你的猜想； （3）【拓展延伸】如图③，已知，点E是BC的中点，点D在线段AE上，，若，，求出线段DF的长． 13．阅读下面的证明过程：如图1，、和都是直角三角形，其中，且直角顶点都在直线l上，求证：． 证明：由题意，，,∴． 在和中，，∴． 像这种“在一条直线上有三个直角顶点”的几何图形，我们一般称其为“一线三垂直”图形，随着几何学习的深入，我们还将对这类图形有更深入的探索． 请结合以上阅读，解决下列问题： (1)如图2，在中，，，过点A作直线，于点D，于点E，探索，，之间的等量关系，并证明你的结论． (2)如图3，和都是等腰直角三角形，，，，且点E在上，连接，求证：． (3)如图4，在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为12米的高台A，利用旗杆顶部的绳索，划过到达与高台A水平距离为18米，高为4米的矮台B，请写出旗杆的高度是_____ ．（不必书写解题过程） 14．综合运用：阅读下面材料，小明遇到这样一个问题：如图1，在中，平分，．求证：. 小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方