寒假作业14 相似三角形的基本模型-【寒假分层作业】2024年九年级数学寒假培优练（人教版）

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 寒假作业14 相似三角形的基本模型 相似三角形是初中几何中的重要内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型．本课时就相似三角形的基本模型：（双）A字模型、（双）8（X）字模型、母子模型（共边共角模型）、“手拉手”模型（旋转模型）、一线三等角（K字）模型、半角模型、对角互补模型等进行专项训练，方便同学们熟练掌握． 1．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，D四个点均在格点上，与相交于点E，连接，则与的周长比为（       ） A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：1 2. 如图，相交于点，且，点在同一条直线上．已知，则之间满足的数量关系式是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，垂足为，，，四边形和四边形均为正方形，且点、、、、、都在的边上，那么与四边形的面积比为______． 4．如图，点是边上一点，且满足． (1)证明：； (2)若，，求的长． 5．在中，是斜边上的高． (1)证明：； (2)若，求的长． 6．如图，，点是线段上的一点，且．已知． (1)证明：． (2)求线段的长． 7．如图，点为线段上一点，分别以为等腰三角形的底边，在的同侧作等腰和等腰，且．在线段上取一点，使，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若的延长线恰好经过的中点，求的长． 8．(1)【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE． (2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出的值． (3)【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．连接BD，CE．求的值． 9．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作射线CP∥AB，D为射线CP上一点，E在边BC上（不与B、C重合）且∠DAE＝45°，AC与DE交于点O． (1)求证：△ADE∽△ACB； (2)如果CD＝CE，求证：CD2＝CO•CA． 10．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E，F分别在BC，CD上．若BE＝2，∠EAF＝45°，则DF的长是 ． 11．(1)如图1，在中，D，E，F分别为上的点，交于点G，求证：． (2)如图2，在（1）的条件下，连接．若，求的值． (3)如图3，在中，与交于点O，E为上一点，交于点G，交于点F．若平分，求的长． 12．【问题呈现】（1）如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形和摆放在一起，点为公共顶点，，若固定不动，将绕点旋转，边，与边分别交于点，（点不与点重合，点不与点重合），则结论是否成立______（填“成立”或“不成立”）； 【类比引申】（2）如图2，在正方形中，为内的一个动角，两边分别与，交于点，，且满足，求证：； 【拓展延伸】（3）如图3，菱形的边长为，，的两边分别与，相交于点，，且满足，若，则线段的长为______． 13．请阅读下列材料，并完成相应的任务． 梅涅劳斯是公元1世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍．梅涅劳斯发现，若一条直线与三角形的三边或其延长线相交（交点不能是三角形的顶点），可以得到六条线段，三条不连续线段的乘积等于剩下三条线段的乘积．该定理被称为梅涅劳斯定理，简称梅氏定理． 如图1，直线交线段于点，交线段于点，交的延长线于点，可截得六条线段，，，，，，则这六条线段满足． 下面是该定理的一部分证明过程： 证明：如图2，过点作，交的延长线于点， 则有（依据），… (1)上述过程中的依据指的是________；(2)请将该定理的证明过程补充完整． (3)在图1中，若点是的中点，，则的值为________； (4)在图1中，若，，则的值为________． 14．请阅读下列材料，并完成相应任务： 塞瓦定理：塞瓦定理载于1678年发表的《直线论》，是意大利数学家塞瓦的重大发现．塞瓦是意大利伟大的水利工程师，数学家． 定理内容：如图1，塞瓦定理是指在内任取一点，延长AO，BO，CO分别交对边于点D，E，F，则． 数学意义：使用塞瓦定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还可以用来进行三点共线、三线共点等问题的判定，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用． 任务解决： (1)如图2，当点D，E分别为边BC，AC的中点时，求证：点F为AB的中点； (2)若为等边三角形（图3），，，点D是BC边的中点，求BF的长，并直接写出的