第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布-【勤径学升】2025年高考数学一轮总复习易错小练（人教A版）

见此图标翻微信/抖音扫码添加智能学习伙伴，突破一轮复习难点。 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 易错点1求解“至少”问题重复计数 所以不同的分配方法种数是120+90十30=240. 【例1】某大学4名大学生利用假期到3个山村参加 [答案]A 基层扶贫工作，每名大学生只去1个山村，每个山 易错点2利用两个原理解题分步标准错误 村至少有1人去，则不同的分配方案共有( 【例2】把3个不同的小球投人到4个盒子，所有可 A.6种B.24种C.36种D.72种 能的投法共有 () [错解]D A.24种B.4种 C.4种 D.3种 [错因分析]本题一个错误的解法是先从4人中 [错解]因为每个盒子有三种投人方法，共4个盒 选3人去3个山村，最后1人可任选1个山村，由 子，所以共有3×3×3×3=3种投法。 此得不同的分配方案共有AC=72(种)，这种解 [错因分析]没有考虑每个球只能投入到一个盒 法的错误在于计数有重复，重复原因如下：“甲乙丙 子中，导致错误。 3人分别去A,B,C3个山村，然后丁去A山村”与 [正解]第1个球投入到盒子中有4种投法：第2 “丁乙丙3人分别去A,B,C3个山村，然后甲去A 个球投人到盒子中也有4种投法：第3个球投人到 山村“结果是相同的，求解不同元素的分配，每部分 盒子中也有4种投法，只要把这3个球投完，就做 至少1个元素，一般是先分组，再排列. 完了这件事情，由分步乘法计数原理可得共有4 [正解]先选出两人作为一组，再进行全排列，则 种方法。 由分步乘法计数原理有C·A=36(种)，故选C, [答案]C [答案]C 易错点击 易错点击 利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合 不同元素的分配问题，一般是先分组，再排列， 理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成 一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成 风固练习 了，才算完成这件事.分步必须满足两个条件：一是步骤互 佳木斯市第一中学为了做好疫情防控工作，组织 相独立，互不干扰：二是步与步确保连续，逐步完成。 了6名教师组成志愿服务小组，分配到东门，西门、中 现固练习 门3个楼门进行志愿服务.由于中门学生出入量较 3名同学报名参加足球队，篮球队，每名同学限 大，要求中门志愿者人数不少于另两个门志愿者人 报其中的一个运动队，则不同的报名方法的种数是 数，若每个楼门至少分配1个志愿服务小组，每个志 () 愿服务小组只能在1个楼门进行服务，则不同的分配 A.8 B.6 C.5 D.9 方法种数为 [解析]依题意，每名同学报名方法种数是2，所以3 A.240 B.180 C.690 D.15C 名同学不同的报名方法的种数是2=8 [解析]第一种情况，当中门的志愿者有3人时，其 [答案]A 他两个门有1个门1人，1个门2人，有CCA= 易错点3忽略平均分组致误 120(种) 【例3】某校高二年级共有六个班，现从外地转入 第二种情况，当中门有2人时，其他两个门也分别是 4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排 2人，CCC=90(种). 2名，则不同的安排方案种数为 () 第三种情况，当中门有4人时，其他两个门分别是1 人，有CA=30(种) A.AC B.AC 2 C.AA D.2A 见此图标甄微信/林音扫码添加智能学习伙伴，突破一轮复习难点。 [错解]A 第二步：排右边，因顺序固定，有1种排法，根据分 错因分析]因均分忽略除以A而致误. 步乘法计数原理，共有20×1=20（种），故选D. [答案]D [正解]先将4名学生均分成两组方法数为 易错点击 再分配给6个年级中的2个，分配方法数为A:,根 这里的“有序”是指元素的位置可以有不同的顺序，有序问 据分步乘法计数原理，不同的安排方法数为入 题是排列问题：“定序”是指元索的相对顺序固定，定序问 题可看作组合问题，如本题先选3人排左边，排法是C, 故选B. 不是A [答案]B 风固练习 易错点击 将4张座位编号分别为1,2,3,4的电影票全部 平均分配给不同人的分法等于平均分堆的分法乘以堆数 分给三人，每人至少1张.如果分给同一人的2张电 的全排列，分堆到位相当于分堆后各堆再全排列，平均分 堆不到指定位置，只分堆，不再对各堆全排列.对于分推与 影票具有连续的编号，那么不同的分法种数是() 分配向题应注意①处理分配问题要注意先分堆再分配： A.24 B.18 C.12 D.6 ②被分配的元素是不同的（像“名额”等则是相同元素，不 [解析]将4张电影票分成三份，其中2张一份的电 适用》，位置也应是不同的（如不同的”盒子”）③分堆时要 影票编号连续，则有12,3,4：1,23,4：1,2,34三种分 注意是否均匀.如6分成(2,2,2)为均匀分组，分成(1,2,3)》 法，然后将三份电影票分给三个人，有A=6种分法， 为非均匀分组，分成(4,1,1)为部分均匀分组. 所以不同的分法种数为3×6=18. 风固练习 [答案]B 某学校安排4名老师到学校的两个入口处进行 易错点5 忽略二项展开式的通项是第r十1 防疫值班，每个人口至少需要1人，每人都必须参加， 项不是第r项 则安排的方法总数为 ( 【例5】 三项式(e-)广 的展开式的第二项是 A.12 B.14 C.20 D.48 [解析]分成一组1人，另一组3人，有C一4种分 A60.x B.-60x2 C.12.x D.-12.x 法：每组2人，有 CC =3种分法，然后再将小组分配 [错解] 展开式的通项为C(x)-(一呈)，令， 到门卫，共有(4+3)×A=14(种)，故选B. [答案]B =2,可得展开式的第二项为Cr(一)=60， 易错点4混淆有序与定序 故选A. 【例4】身高互不相同的七名学生排成一排，从中间 [错因分析]误认为第二项是r=2而致误. 往两边越来越矮，不同的排法有 ( [正解] 展开式的通项为T,,=C(x) A.5040种 B.720种 (一)，令r=1,可得展开式的第二项为C一 C.240种 D.20种 =-12x.故选D. [错解]最高个子站在中间，只需排好左右两边， () 第一步：先排左边，有A号=120种排法，第二步：排 [答案]D 右边，有A=6种排法，根据分步乘法计数原理，共 易错点击 有120×6=720（种），故选B. 求二项展开式中的特定项，一般是把通项公式进行化简 [错因分析]混淆有序与定序。 后，令字母的指数符合要求（求常数项时，指数为零：求有 [正解]最高个子站在中间，只需排好左右两边， 理项时，指数为整数等)，解出项数下十1，代回通项公式 第一步：先排左边，因顺序固定有C=20种排法， 即可 42 见此图标跟微信/抖音扫码添加智能学习伙伴，突破一轮复习难点。 巩固练习 易错点7事件分拆混乱致误 【例7】某课程考核分理论与实验两部分进行，每部 若二项式(+ 的展开式中第4项为常数 分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都 项，则n= ( 是“合格”，则该课程考核“合格”.甲，乙，丙三人在 A.6 B.5 C.4 D.3 理论考核中合格的概率分别为0.9,0.8,0.7，在实 验考核中合格的概率分别为0.8,0.7,0.9，所有考 [解析] 二项式（十 的展开式的通项公式为 核是否合格相互之间没有影响。 (1)求甲，乙，丙三人在理论考核中至少有两人合格 T=C 的概案： 因为二项式十 的展开式中第4项为常数项， (2)求这三人该课程考核都合格的概率.（结果保留 三位小数) 所以n一 ×3=0,解得n=4,故选C. [错解】(1)设甲，乙，丙至少两人合格为事件A, P(A)=0.9×0.8×0.3+0.9×0.2×0.7+0.1× [答案]C 0.8×0.7=0.398 易错点6混淆项的系数与二项式系数 (2)设三人都合格为事件B,P(B)=0.9×0.8× 【例6】(a一b)"的展开式中，系数最大的项是第 0.7=0.504. 项。 [错因分析]事件分拆错误.“至少两人合格”要分 [错解]6或7 析为“甲乙合格丙不合格”“甲丙合格乙不合格”“乙 [错因分析]混涌二项式系数与项的系数， 丙合格甲不合格”“甲乙丙都合格”四个事件之和： [正解](a一b)"的展开式中共12项，第6项系数 三人课程考核合格要写成六个独立事件的积。 为一C,第7项系数为C,所以系数最大的项是 [正解]记“甲理论考核合格”为事件A,,“乙理论 第7项. 考核合格”为事件A:,“丙理论考核合格”为事件 [答案]7 A,A记为A,的对立事件，i=1,2,3.记“甲实验 考核合格”为事件B,“乙实验考核合格”为事件 易错点击 B,“丙实验考核合格”为事件B, 二项式系数与项的系数是不同的概念，其最大值的求法也 (1)记“理论考核中至少有两人合格”为事件C, 不同.二项展开式中二项式系数的最大项只与有关，若 P(C)=P(AAA,+AAA,+AA,A+ 为偶数，正中间1项的二项式系数最大，若”为奇数，正中 AAAs)=P (AA:A)+P(AA2A)+ 间2项的二项式系数最大，求项的系数的最大值一般是分 P(AA2A)+P(A1A2A)=0.9×0.8×0.3+0.9 别确定第r一1，r,r十1项的系数a,,a,,再由 ×0.2×0.7+0.1×0.8×0.7+0.9×0.8×0.7= 0.902. 确定符合条件的， a,≥a+日 (2)记“三人该课程考核都合格”为事件D, 风固练习 P(D)=P[(AB,)·(AB2)·(AB)]= P(AB)·P(AB)·P(AB)=0.9×0.8X0.8 (1一2x)°的展开式中x项的系数为 ×0.7×0.7×0.9=0.254016≈0.254.所以这三 A.32 B.-32C.64 D.-64 人该课程考核都合格的概率约为0,254， [解析](1一2.x)'展开式的通项公式为T,,=C1'- 易错点击 (-2x)'=C(一2)'x',所以展开式中x项的系数为 对复杂事件的概率计算问题要将事件分拆成儿个互斥事 C(-2)3=-32,故选B. 件的和，再把每个事件分成若干独立事件的积。分拆过程 [答案]B 中要明确事件的实质，全面准确地分拆事件 43 见此图标甄然信/林音扫码添加智能学习伙伴，突破一轮复习难点。 巩固练习 (3)以上述样本数据估计总体，从高速公路上行驶 国际羽毛球比赛规侧从2006年5月开始，正式 的家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车平均车速 决定实行21分的比赛规则和每球得分制，并且每次 超过100km/h且为男性驾驶员的车辆数为X,求 得分者发球，所有单项的每局获胜分至少是21分，最 X的分布列和数学期望E(X). 高不超过30分，即先到21分的获胜一方赢得该局比 [错解] 第(3)小题因用超几何分布而致误. 赛，如果双方比分为20·20时，获胜的一方需超过对 [错因分析]混淆超几何分布与二项分布. 方2分才算取胜，直至双方比分打成29：29时，那么 正解](1)完成的2×2列联表如下： 先到第30分的一方获胜.在一局比赛中，甲发球赢球 平均车速超过 平均车速不超过 的概率为2，甲接发球羸球的概率为·则在比分为 总计 100 km/h 100 km/h 20:20,且甲发球的情况下，甲以23：21赢下比赛的 男性驾驶员 40 15 55 概率为 女性驾驶员 20 25 45 A日 c易 总计 60 40 100 (2)平均车速不超过100km/h的驾驶员有40人， [解析]设双方20：20平后的第k个球甲获胜为事 件A,(k=1,2,3,…). 从中随机抽取2人的方法总数为C,记“这2人恰 则P(甲以23：21赢)=P(A,A.AA,)+ 好是1名男性驾驶员和1名女性驾驶员”为事件 P(AA:AA.)=P(A)P(A:)P(A)P(A)+P(A:) A,则事件A所包含的基本事件数为CC· P (A,)P(A P(A,) (××2×2)+ 所以所求的概率P(A)=CC生_15×25_25 C。20×39521 (合××号×) 3 (3)根据样本估计总体的思想，从总体中任取1辆 车，平均车速超过100kmh且为男性驾驶员的概 [答案]B 易错点8混淆超几何分布与二项分布 率为品-号 【例8】为研究家用轿车在高速公路上的车速情况， 交通部门随机选取100名家用轿车驾驶员进行调 放X~B3,号)月 查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况 所以PX=o)=C(号)广（层）=： 为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100kmh 的有40人，不超过100kmh的有15人：在45名 px-)-c(号)广()广-荡 女性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有20 人，不超过100kmh的有25人 pPx=2)=c()广()广- (1)完成下面2×2列联表： P(X=3) c(广()》'= 平均车速超过 平均车速不超过 总计 100 km/h 100 km/h 所以X的分布列为 男性驾驶员 X 1 2 3 女性驾驶员 27 54 36 8 125 125 125 125 总计 (2)在被调查的驾驶员中，从平均车速不超过 所以E(X)=0X 器+1×酷+2×+3×品器 100km/h的人中随机抽取2人，求这2人恰好是 : -(或X0=3号-号) 1名男性驾驶员和1名女性驾驶员的概率： 44 见此图标鲴微信/料音扫码添加智能学习伙伴，突破一轮复习难点。 易错点击 (2)在上述抽取的40个城市中任取2个，设Y为产值 (1)超几何分布的特点是：①整体一般由两部分组成，比如 不超过600万元的城市个数，求Y的分布列、期望和 “正，反"“黑，白”“男生，女生”“正品，次品”等，②总体 方差： 一般是有限个. (3)把频率视为概率，从全球应用北斗卫星的城市中 (2)超几何分布主要应用于抽查产品，摸不同类型的小球 任取5个城市，求恰有3个城市的产值超过605万元 等模型。 的概率 (3)注意特殊背景下的“超几何分布”被转化为“二项分 [解](1)由频率分布直方图可知产值小于600万元 布”，如从两类对象中不放回地抽取个元素，当两类 的频率为(0.03十0.04)×5=0.35， 对象的总数量很大时，超几何分布近似于二项分布. 所以产值小于600万元的调研城市个数为40×0.35 风固练习 =14(个). 中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球 (2)由(1)得产值不超过600万元的调研城市有14 卫星导航系统，作为国家战略性空间基础设施，我国 个，超过600万元的调研城市有40一14=26（个）， 北斗卫星导航系统不仅对国防安全意义重大，而且在 所以随机变量Y的取值可能为0,1,2， 民用领域的精准化应用也越来越广泛.2020年6月 所以P(Y=0)= e-pY=1-cS- C 15 23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射标志着拥 有全部知识产权的北斗卫星导航系统全面建成，据统 P(Y=2) 是 7 计，2019年卫星导航与位置服务产业总产值达到 所以Y的分布列为 3450亿元，较2018年约增长14.4%.从全球应用北 Y 0 2 斗卫星的城市中选取了40个城市进行调研，下图是 7 这40个城市北斗卫星导航系统与位置服务产业的产 12 15 6 值（单位：万元）的频率分布直方图. 所以EY)=0×是+1×+2× 77 6016 频率里距 0.07 DY)=(0-0)×是+(1-0)×品+(2-) 0.05 0.04 0.03 (3)由频率分布直方图可知城市的产值超过605万元 0.01 的概率为(0.05十0.01)×5=0.3， A 0590595600605610615产值万元 设任取5个城市中城市的产值超过605万元的城市 (1)根据频率分布直方图，求产值小于600万元的调 个数为X,可知随机变量X满足X一B(5,0.3), 研城市个数： 所以P(X=3)=C×0.3×(1-0.3)2=0.1323. 45