第三章 一元函数的导数及其应用-【勤径学升】2025年高考数学一轮总复习易错小练（人教A版）

见此图标留微信/抖音扫码添加智能学习伙伴，突破一轮复习难点。 第三章 一元函数的导数及其应用 易错点1识别函数的图象与平均变化率的关 :山路线图.同样是登山，但是从A处到B处会感觉比 系致误 较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力.想想看， 【例1】A,B两机关单位开展节能活动，活动开始后 为什么？你能用数学语言来量化BC段曲线的陡峭 两机关的用电量W,(1),W2(t)与时间（天）的关系 程度吗？ 如图所示，则一定有 ( 70 100.m A.两机关单位节能效果一样好 [解]山路从A到B高度的平均变化率为h B.A机关单位比B机关单位节能效果好 8二8-号山路从B到C高度的平均变化率为A: C,A机关单位的用电量在[0，t。]上的平均变化率 比B机关单位的用电量在[0，t]上的平均变化 88行An>有m山路从B到C比从A 率大 到B要陡峭的多 D.A机关单位与B机关单位自节能以来用电量总 易错点2混淆“在某点处的切线”与“过某点 是一样大 的切线” [错解]选C.因为在(0，)上，W,(1)的图象比 【例2】若经过点P(2,8)作曲线y=x的切线，则切 W,(t)的图象陡萌，所以在(0,1。)上用电量的平均 线方程为 变化率，A机关单位比B机关单位大， A.12x-y-16=0 [错因分析]识图时，一定要结合题意弄清图形所 B.3.x-y十2=0 反映的量之间的关系，特别是单调性，增长（减少） C.12.x-y十16=0或3.x-y-2=0 的快慢等要弄清。 D.12x-y-16=0或3.x一y+2=0 [正解]由题可知，A机关单位所对应的图象比较 [错解]设f(x)=x,由定义得(2)=12， 陡峭，B机关单位所对应的图象比较平缓，且用电 ∴.所求切线方程为y-8=12(x-2),即12x-y一 量在[0，t。]上的平均变化率都小于0，故一定有A 16=0. 机关单位比B机关单位节能效果好，故选B. [错因分析]曲线过点P的切线与在点P处的切 [答案]B 线不同，求曲线过点P的切线时，应注意检验点P 易错击 是否在曲线上，若点P在曲线上，应分P为切点和 平均变化率的概念是：函数y=f(x)从x,到x:的平均变 P不是切点讨论 化米为》-，若4x=-1,4y=fx) [正解]①易知P点在曲线y=x上，当P点为 f代)，划平均变化率可表示为，可见其儿何意文可以 切点时，由上面解法知切线方程为12x一y一16 △x =0. 看作是过曲线上两点制线的斜率，所以平均变化率大，则 ②当P点不是切点时，设切点为A(x,y),由定义 料线的斜率就大， 可求得切线的斜率为k=3.x. 风固练习 巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之 A在商线上心%=小号-3 美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又 3.x6+4=0,∴.(x+1)(x。-2)2=0,解得x=一1 十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登 或x。=2(舍去)，y=一1，k=3,此时切线方程为 6 见此图标跟微信/料音扫码添加智能学习伙伴，突破一轮复习难点。 y+1=3(x+1),即3.x-y+2=0. =h(x),则y,=y.·4,.如(1)中，y=,u=x 故经过点P的曲线的切线有两条，方程为12x一 十1，y,=2w·2x=2(x2+1)·2x=4x(x2+1).遇 y-16=0或3.x-y+2=0. 到这种类型的函数求导，可先整理再求导，或用复 [答案]D 合函数求导公式求导. 易错点击 [正解]解法一：(1)，y=(x+1)=x+2x2+1, 在求曲线y■(x)的切线方程时，要注意区分是求某点处 ∴y=4x3+1.x. 的切线方程，还是求过某点的切线方程，若已知曲线过点 P(工为)，求曲线过点P的切线，则需分点P(工，%)是切 2 点和不是切点两种情况求解： 解法二：(1)y=2(x+1)·(x2+1)'=4.x(.x+1). (1)当点P(y)是切点时，切线方程为y一y。=了(x) (x-x): (2)y=2os号·(os}/=2os号·(-sm)· (2)当点P(x·y)不是切点时.可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标P(x,代)： (}=-inx 第二步：写出过P(x1,f(工1)的切线方程为y一f(x)= 易错流击 f(x1)(x-x1): 1,求复合函数的导数的关键环节： 第三步：将点P的坐标（工y)代入切线方程求出工： ①中闻变量的选择应是基本函数结构： 第四步：将x1的值代人方程y一f(x)=厂(x)(x一x), ②正确分析出复合过程： 可得过点P(x,y,)的切线方程 ③一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导： 风固练习 ①善于把一部分表达式作为一个整体： 设曲线y=x十lnx的一条切线过点(0,1)，则此 ⑤最后结果要把