第七章 立体几何-【勤径学升】2025年高考数学一轮总复习易错小练（人教A版）

见此图标翻微信/抖音扫码添加智能学习伙伴，突破一轮复习难点。 第七章 立体几何 易错点1立体图形的展开图考虑不全面致错 【例1】长方体ABCD-A:B,CD,的长、宽、高分别 B 2 为3,2,1.从A到C1沿长方体的表面的最短距离 45 为 [错解]25 [错因分析]只考虑一种可能。 A.3 R32 C.6 D.32 [正解]根据题意，将长方体按照三种不同方式展 [错解]B 开，如下图所示： [错因分析] 错解中把直观图认为是原平面图形，则 平面图形的面积为号×2X3Xm45-3号.实际 上，题图为直观图，必须根据直观图还原得到平面图 结合长方体的三种展开图，求得AC,的长分别是 形，再利用三角形的面积公式求解 3√2，V26,25,所以最小值是3v2. [正解]原平面图形如图，即Rt△OAB,其中OA [答案]3v② 0A'=3,0B=20B'=4,故原平面图形的面积为号 易错点击 ×3×4-6,选C. 求几何体表面上两点之间的最短距离一般要把儿何体的 侧而或表而展开，将间题转化为平面图形中的距离问题， 但要注意对于多面体来说，其展开方式可能有多种. 2 风固练习 已知某圆柱的底面周长为12，高为2，矩形 0123 ABCD是该圆柱的轴截面，则在此圆柱侧面上，从A [答案]C 到C的路径中，最短路径的长度为 易错点击 1.斜二测画法中的“三变“与“三不变”： 坐标轴的夹角改变： “三变” 与y轴平行的线段的长度变为原来的一半： A.210 B.25C.3 D.2 图形改变 [解析]圆柱的侧而展开图如图，圆柱的侧面展开图 平行性不改变： 是矩形，且矩形的长为12，宽为2，则在此圆柱侧面 “三不变“ 与x轴平行的线段的长度不改变： 相对位置不改变 上，从A到C的最短路径为线段AC,AC=√2+6 =2V10.故选A. 2原形与直观图的面积比为言-2反，即原图面积是直 观图面积的2互倍，直观图面积是原图面积的， 22 R [答案]A 易错点2平面图形与其直观图的关系 风固练习 【例2】如图是水平放置的平面图形的直观图，则原 已知梯形ABCD是直角梯形，按照斜二测画法 平面图形的面积为 ( 画出它的直观图A'B'CD'(如图所示)，其中A'D'=2, 见此图标围微信/料骨扫码添加智能学习伙伴，突破一轮复习难点。 B'C'=4,A'B'=1,则直角梯形边DC的长度是 [正解]正方体的表面积为S=24,两个全等的三 ( 棱锥是以正方体的相对顶点为顶点，侧面是三个全 等的直角边长为】的等腰直角三角形，其侧面面积 的和为3，三棱锥的底面是边长为√2的正三角形， O'(B') 其底面面积的和为√，故所求几何体的表面积为 24-3+√3=21+3.故选A. A.5 B.2② C.5 D.25 [答案]A [解析] 由直观图作出直角梯形ABCD的平面图 形，如图. 易错点击 柱体，锥体、台体的表面积 (1)多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面 积应注意重合部分的处理，以确保不重复，不遗漏 (2)求多面体的面积时，应对每一个侧面分别求解后拜 O(B)E 相加：求旋转体的侧面积时，一般要将旋转体展开为平 按照斜二测画法规则，由A'D'=2,B'C'=4,A'B'= 面图形后再求面积。 1,得直角梯形ABCD中，AB⊥BC,AD=A'D'=2, 风固练习 BC=B'C'=4,AB=2A'B'=2. 如图，直角梯形ABCD中，AD⊥DC,AD∥BC, 过D作DE⊥BC,交BC于E, BC=2CD=2AD=2,若将直角梯形绕BC边旋转一 DE=AB=2.EC=BC-AD=4-2=2, 周，则所得几何体的表面积为 所以直角梯形边DC的长度为2、2，故选B. [答案]B 易错点3空间几何体的表面积或体积计算不 全面致错 【例3】如图，一个棱长为2的正方体截取两个全等 的小正三棱锥，小正三棱锥三条相互垂直的棱长都 [解析]由题意知所得几何体为一个圆锥与圆柱的 为1则剩余多面体的表面积为 组合体，则表面积为πrl十2xrh十πr2=π×1×2十2x X1×1+x×1=2π+3π. [答案](3十√2)x 易错点4忽略空间角的范围致误 A.21+5 B.18+3 【例4】如图，已知空间四边形ABCD中，AD=BC, C.21 D.18 M,N分别为AB,CD的中点，且直线BC与MN [错解]B或C或D 所成的角为30°，则BC与AD所成的角 [错因分析]B项计算三角形面积时出错：截取小 为 正三棱锥，即除去了六个全等的等腰直角三角形， 但C项忽略了几何体多了两个等边三角形面：D项 计算三角形面积时出错，且计算时还少加了三棱锥 的底面。 28 见此图标翻微信/抖音扫码添加智能学习伙伴，突破一轮复习难点。 [错解]120 [解析]连接AC,D,C,由题得AD,LBC,故四边 如图，连接BD,并取中点E,连接EN,EM,则EN 形A,BCD是平行四边形，所以A,B⊥D,C,则 ∥BC,EM∥AD,故∠ENM为BC与MN所成的 ∠AD,C的余弦值即为所求.由AB=BC=1,BB,=2 角，∠MEN为BC与AD所成的角，.∠ENM= 可得AD,=D,C=5,AC=√2，故有(W2)2=(/5)+ 30°.又由AD=BC,知EM=EN,.∠EMN= (5)'-2×V5×5cos∠AD,C,解得cos∠AD,C- ∠ENM=30°，∴.∠MEN=180°-30°-30°=120°， 即BC与AD所成的角为120. 言，枚选D. [错因分析]在未判断出∠MEN是锐角或直角 [答案]D 还是钝角之前，不能断定它就是两异面直线所成的 易错点5对线面位置关系不能正确应用定理 角，因为异面直线所成的角a的取值范围是0°<a ≤90°.如果∠MEN为钝角，那么它的补角才是异 致错 面直线所成的角。 【例5】如果两条平行直线a,b中的a∥a,那么b∥a. [正解]以上同错解，求得∠MEN=120°，即BC 这个命题正确吗？为什么？ [错解]这个命题正确. 与AD所成的角为60°， [答案]60 a∥a, ∴.在平面a内一定存在一条直线c,使ac 易错击 又a∥b,∴.b∥c,∴.b∥a. 求异面直线所成角的步骤 [错因分析]忽略了bCα这种情况，从而导致错 ①一作：即根据定义作平行线，作出异面直线所成的角： 误，本题条件中的直线b与平面a有两种位置关 ②二证：即证明作出的角是异面直线所成的角： 系：b∥a和bCa. ③三求：解三角形，求出作出的角 [正解]这个命题不正确. 如果求出的角是锐角或直角，那么它就是要求的角：如果 求出的角是钝角，那么它的补角才是要求的角 若bda.a∥a, 在平面a内必存在一条直线c,使a∥c 巩固练习 又a∥b,∴.b∥c,.b∥a. 如图，在长方体ABCD-A,B,C,D中，若AB= 若bCa,则不满足题意. BC=1,BB,=2,则异面直线A,B和AD,所成角的 综上所述，b与a的位置关系是b∥a或bCa. 余弦值为 易错点击 1,点，线，面之间的位置关系可借助正方体为模型，以正方 体为主线，直观感知并认识空间点，线，面的位置关系， 准确判定线线平行，线线垂直、线面平行，线面垂直，面 面平行、面面垂直 2,熟练应用线面位置关系中的判定定理与性质定理即可 A.y10 10 B. C② D.5 顺利解决此类问题， 29 。见此赫围俗/样音扫码添加智能学习伙伴，突破一轮复习难点。 巩固练习 现固练习 下列命题中，错误的是 如图，四棱锥P-ABCD中，AD∥BC,AB=BC= A.一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与 2AD,E,F,H分别为线段AD,PC,CD的中点，AC 另一个平面相交 B.平行于同一直线的两个平面一定平行 与BE交于点O,G是线段OF上一点. C,如果一个平面不垂直于另一个平面，那么这个平面 (1)求证：AP∥平面BEF: 内一定不存在直线垂直于另一个平面 (2)求证：GH∥平面PAD. D.若直线1不平行于平面，且1不在平面内，则在平 面内不存在与（平行的直线 [解析]由直线与平面相交的性质，知一条直线与两 个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交， 故A正确：平行于同一直线的两个平面有两种位置 关系，可能平行，也可能相交，B错误：如果一个平面 [证明]1)连接EC.:AD/EBC,BC-AD, 内存在直线垂直于另一个平面，那么这个平面一定垂 .BC=AE且BC∥AE,.四边形ABCE是平行四 直于另一个平面，故C正确：若直线1不平行于平面， 边形，.O为AC的中点 且（不在平面内，则1与平面相交，则在平面内不存在 又F是PC的中点，FO∥AP,FOC平面BEF, 与1平行的直线，故D正确.故选B. AP过平面BEF,.AP∥平面BEF [答案]B 易错点6证明线面位置关系推理不严谨 【例6】在棱长为2的正方体ABCD-A,B,C,D,中， E,F分别为DD1,DB的中点. 求证：EF⊥B,C (2)连接FH,OH,,F,H分别是PC,CD的中点， [错解]：ACLBD,又AC⊥D,D,∴.AC⊥平面 BDD,·.EF⊥AC FH∥PD,PDC平面PAD,FH平面PAD, 错因分析推理论证不严谨，思路不清晰 .FH∥平面PAD. [正解]ABCD-A,B,CD为正方体→ 又，O是BE的中点，H是CD的中点， B,C⊥AB .OH∥AD,ADC平面PAD,OH亡平面PAD, B,C⊥BC .OH∥平而PAD AB⊥平面BCC,B,→ 又FH∩OH=H,.平面OHF∥平面PAD. AB,BC,C平面ABC,D 又：GHC平面OHF,.GH∥平面PAD. AB∩BC=B B,C⊥平面ABC,D)B,C⊥BD →EF⊥B,C BD,C平面ABCD,EF∥BD 易错点击 证明空间线面位置关系的基本思想是转化与化归，根据线 面平行、垂直关系的判定和性质，进行相互之间的转化，如 本题是证明线线垂直.但分析问题时不能只局限在线上， 要把相关的线归结到某个平面上（或是把与这些线平行的 直线归结到某个平面上)，通过证明线面的垂直达到证明 线线垂直的目的，但证明线面垂直又要借助于线线垂直， 在不断地相互转化中达到最终目的，解这类问题时要注意 推理严谨：使用定理时找足条件，书写规范等。 30