第六章 数列-【勤径学升】2025年高考数学一轮总复习易错小练（人教A版）

见此图标围然信/料骨扫码添加智能学习伙伴，突破一轮复习难点。 第六章 数列 易错点1忽略n的取值致错 数列{a.}的通项公式。 【例1】已知数列{a,}的前n项和为S,=n+1,数列 [解]当n=1时，a1=1:当n≥2时，由a,aa4…a。 么满足么异则么 =n,可得a,a24…a。1=(n一1)产，两式相除可得 1,n=1, [错解]因为S.=n+1,S-:=(n-1)+1, a,= (n-1),故4，= 两式相减，得a,=5。一S4=2m-1,所以=名 (n-1)n≥2，neN. a。+ 易错点2忽略数列中为0的项致误 【例2】设等差数列(a,}的前n项和为S.·公差为d, [错因分析]由已知中{a.}的前n项和S,=n+1, 且满足a,>0,S,=S,则当S。最大时，n (Sn=1, 结合a.= 分别讨论≥2时与n=1 S。-S.-1n≥2， 时的通项公式，并由n=1时，a1的值不满足≥2时 [错解]由S=Sa,得1a,+X10d=18a,+ 2 的通项公式，故要将数列{a.}的通项公式写成分段 18X1”d,即a,=-14d.由a,>0可知d0,解不等式 2 函数的形式 [正解]当n=1时，a=S=2.因为Sn=n+1, an=a十(n-1)d0, 组 即 -1d+m-1Dd20,得 S。1=(n-1)产十1(n≥2)，两式相减，得a.=S, a+1=a1十d0. -14d+d0, S。-1=2m-1(n≥2)， 14<n≤15.又n∈N”,故当n=15时，S。最大. 所以当n≥2时，a,=2-1.又41=2不符合上式，所 [错因分析]由于a1s=0,所以S:=S,当n=14 2,n=1, 以an= 或n=15时，S。最大，错解中忽略了数列中为0 2m-1,n≥2. 的项。 3 ,n=1, [正解1门由S=S,得1a,+1X10a=18十 因为b= 力所以么一 2 2 1 ,n≥2. 18X14,即a,=-14d由a>0可知d<0,解不等式 2 3n=1, a,=a,+(n-1)d0.f-14d+(m-1Dd≥0， [答案] 组 即 得 ,n≥2 a+1=a1+d≤0， -14d+d0, 14≤n≤15.又n∈N”,故当n=14或n=15时，S. 易错点击 最大 S=1 (1)已知S,求a,的常用方法是利用a, 转 [正解2]由S1=S.,可得a,=-14d,所以S。= S.-S,≥2 化为关于a.的关系式，再求通项公式， -1d+2a=号-)-a由ne (2)S。与a关系问题的求解思路 N”并结合S。对应的二次函数的图象知，当n=14 方向1：利用a=5,-5,-1(n≥2)转化为只含5，S. 或n=15时，S.最大. 的关系式，再求解， 方向2：利用S。-S,-1=a(n≥2)转化为只含a,a, [正解3]由S,=Sm,得a2十aa+a:十a十as 的关系式，再求解。 十a+a1w=0,即7au=0,aa=0.由a1>0可知d 风固练习 <0,故当n=14或n=15时，S.最大. 已知数列{a.}满足a1a2a。…a.=n(n∈N”）,求 [答案]14或15 24 见此图标翻微信/抖音扫码添加智能学习伙伴，突破一轮复习难点。 易籍点击 a1a>0,所以a1a,=5. 1,求等差数列前n项和的最值的方法 易错点击 (1)二次函数法：用求二次函数最值的方法（配方法）求 在等比数列中，若公比小于0，则各项正负间隔出现，奇数 其前？项和的最值，但要注意m∈N“, 项的符号是一致的，偶数项的符号是一致的，据此可知，偶 (2)图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n的值， 数个奇数项的积为正数，售数个偶数项的积也为正数， 使S。取得最值. 风固练习 (3)项的符号法：当a1>0,d<0时.满足 a.≥0， 的项 a+i≤0 设数列{a.}的前n项和为S.已知a1=1,a:=2, 数，使S,取最大值：当a,<0,d>0时，满是 且a+=3S。-S.-1+3,n∈N. 4,0, (1)证明：4w+2=3a,； 的项数，使S,取最小值，即正项变负项处 d1≥0 (2)求a 最大，负项变正项处最小，若有零项，则使S。取最值 [解](1)由条件，对任意n∈N”,有a+=3S。 的有两个。 S+1+3, 2.在等差数列{a1中，若1>0，S,=S,(p≠g),则(1)p+ 因而对任意n∈N”,n≥2，有a.+1=3S。-1一S,十3. 9为偶数→当=生时，8最大：(2)p十g为奇数一当 两式相减，得a,+g一a+1-3a。一a+1,即a+:=3an ≥2. n=士g或+g时，5最大 又a1=1,ae=2,所以a1=3S,-S:+3=3a1-(a1十 风固练习 a2)+3=3a1. 等差数列{a.}中，a1=2,S。=15,记B.=a2十a 故对一切n∈N”,a.+:=3a 十a十…十ag,则当n= 时，B。取得最大值 (2)由(1)知，a,≠0，所以。2=3，于是数列(a-是 a. [解析]在等差数列{a.}中，a1=2,S。=15, 首项a1=1,公比为3的等比数列：数列{ag.)是首项 5。=10a,+1094=15, a1=2,公比为3的等比数列. 即20+45d=15,45d=-5, 所以a2m-1=3"-1,a.=2×3"- d=-a,=2-m-1=-+ 3宁，m是奇数， 所以a. 2×31,n是偶数. 由a,=-言a+号-0，得=10，即an=.当>19 易错点4忽略等比数列中公比为1致错 时，a.<0;当n<19时，an>0,因此在ag,a4,a…, 【例4】在数列{a.}中，若a。=a2”-a”(a≠0)，求 a中，当1≤4时，a>0:当1≥5时，a<0, {a.}的前n项和S. 故当n=4时，B,取得最大值. [错解]S。=a1十ag十a十…十an [答案]4 =(a+a+…十a)-(a十a十…+a") 易错点3忽视奇数项或偶数项的符号 =a(1-a")-a1-ay 【例3】在等比数列{an)中，a2a,asa=25,求aag 1-a 1-a 的值。 [错因分析]错解在进行等比数列求和时忽略了 [错解]因为{a.}为等比数列，所以aa,=aeas= 对公比是否等于1的讨论：此外，还需讨论相关数 a:a6,由a:a:aa4=25可得(aan)°=25，放a1a,= 列是否为等比数列 ±5. [正解]当a=1时，a.=0,所以S。=0: [错因分析]错解中忽略了在等比数列中，奇数项 当a=-1时，a=1,所以S=n+1一（21》： 2 或偶数项的符号相同这一隐含条件。 [正解]因为{a,}为等比数列，所以a,a,=aa 当a≠士1时，S=41-a)_a1-a) 1一a 1-4 =a,a6 0,4=1, 由a2a:deaw=25可得(a1ae)'=25,故a1a4=士5. m+1-(-1) ,a=-1, 又在等比数列中，所有的奇数项的符号相同，所以 综上，Sn= 2 25 42(1-a")_a(1-4") 1-a 2,a≠士1. 1-a 见此图标甄然信/林音扫码添加智能学习伙伴，突破一轮复习难点。 易错点击 当=1时，由③得T.=1+2+3+…+(n一1)+n 1特别注意g=1时，S。=1这一特殊情况 n(n十1)_”十n 2 2 2.由a+,=职，9≠0，井不能立即断言{“.》为等比数列， 综上，数列{b的前n项和 还要验证4，≠0. 3,在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对4=1 +”,A=1 2 与≠1分类讨论，防止因忽略g=1这一特殊情形面导 T.= 1-λ" 入" 致解题失误。 1-)示1=A>0且A≠1. 4.S·S。一S·S.一S未必成等比数列（例如：当公比g= 易错点5忽略函数与数列的区别致误 一1且？为偶数时，5。，S.一5，S.一S2.不成等比数列： 【例5】已知在数列(a.}中，a.=一2n2+25n十30(n 当g≠一1或g=一1且n为奇数时.S。,S.一S.S, ∈N”).则数列中最大项的值是 S.成等比数列)，但等式(S.一S)2-S。·(S.-S.)总 成立： A.107 B.108 C.108 D.109 444444444444444444444444444年444444444444444444444444 风固练习 [错解] 选C.由题意可知a.=一2n°+25n+30 各项均为正数的数列a,}的首项a,=},前n项 -2(a-)+108君，所以数列a,)中的最大项 和为S。,且S+1十Sw=a+ 为1080 (1)求{a.的通项公式： [正解]由题意可知a,=一2nm+25m十30 (2)若数列{b,}满足b.=入"a.,求(b}的前n项和T。· [解](1)因为S.+1+S.=aa1,① -2(-)+108g 所以当n≥2时，S。+S。1=aai,②@ 由于∈N,故当取距离最近的正整数6时，取 ①-②，得au+:十a.=a+1一入a 得最大值108. 即a+1+an=A(a+1十a.)(a.+1一a.) ∴.数列{a,}中的最大值为aa=108.故选B. 因为{a.}的各项均为正数，所以a+1十a.>0且入>0， [答案]B 所以a1一a,= 易错点击 由①知，S,十S=Aa,即2a1十a2=aai,又因为a,= 利用函数单调性求解数列问题，要注意n的取值不是连续 实数 所以a,=员，所以a-a,= 1 1 见固练习 故a+1一an (neN), 1 数列2一202 1 所以数列山，是首项为分，公差为的等差数列所 A.既有最大项，又有最小项 B.有最大项，无最小项 C无最大项，有最小项 2)由（得a,-是，所以6=n·A, D.既无最大项，又无最小项 [解析]2°=1024,2”=2048， 所以T.=1+2x+3x2+…+(n-1)x"-+n以-，③ 根据指数函数单调性可知， AT.=A+2λ+3以+…+(n-1)λ-1+以”，④ 2°-2022在1≤≤10时为减数列且为负，在m≥ 1 ③-④，得(1一A)T.=1+入+12+…+1"1-1"， 11时也为诚数列且为正 当0且1时.1-T,--成，解得工 故数列最小项为第10项，最大项为第11项.故选A [答案]A 26