课时检测训练20 利用导数研究函数的零点-【勤径学升】2025年高考数学一轮总复习课时检测训练（人教A版）

课时检测训练20 利用导数研究函数的零点>对应答案49 1.(2023·陕西西安·三模)设函数f(x)=anx:3.(2023·辽宁沈阳·统考一模)已知f(x)=(x ×1 a∈R -2xlnx+(a-2)r+21-a)r,a>0. (1)若函数g(x)=f(x)一x在定义域上单调递 (1)讨论f(x)的单调性： 减，求a的取值范围： (2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围. (2)当a>0时，讨论函数f(x)=alnx+1零点 的个数. 4.设函数f(x)=x+mln(x十1)(m∈R). 2.(2022·北京市第五中学三模)已知函数f(x)= (1)若m=一1， (x-az)In r+x(aER,a>0). ①求曲线f(x)在点(0，f(0)处的切线方程： (1)若1是函数f(x)的极值点，求a的值： ②当x∈(1，+∞)时，求证：f(x)<.x. (2)若0<a≤1，试问f(x)是否存在零点.若存 (2)若函数f(x)在区问(0,1)上存在唯一零点， 在，请求出该零点：若不存在，请说明理由. 求实数m的取值范围. 课时检测训练·数学·RJA —266调递增；令f'(x)<0,解得0<x<a, -L-cos x,则m1(x)=e+÷+sinx.因为x>1,所以 ∴f(x)在(0,a)上单调递减. m'(x)>0,所以m(x),即h'(x)在(1,+)上单调递增， 所以 h'(x)>h′(1)=e-1-cos 1>0,所以h(x)在 综上所述，当a≤0时，f(x)在(0,+～)上单调递增，无减 区间： (1,+～)上单调递增，所以h(x)>h(1)=e-sin1-1>当a>0时，f(x)在(0,a)上单调递减，在(a,+)上单调 递增. 0,即g'(x)>0, 所以g(x)在(1,+???单调递增，g(x)>g(1)=e+ (2)证明：a=1,5f(x)=ln x+号，即证 ln x+÷ <e+inr. cos1-1>0,即e2+cos x-1-xln x>0. 综上可知，当a≥1时，e?+a(x+cosx)-x-1-xln x≥e +cos x-1-xln x>0, ∵x>0,即证e?+sinx-xlnx-1>0. 即 f(x)>xln x+1-ax. 当x∈(0,1)时，e?>1,sin x>0,xlnx<0, ∴e1+sinx-xlnx-1>1-1=0. 课时检测训练20 利用导数研究函数的零点 1.解 (1)由题意，函数g(x)的定义域为(0,+～). 当x∈(1,+～)时，令g(x)=e?+sinx-xlnx-1,则g'(x) =e+cos x-lnx-1, ∵g(x)在(0,+～)上单调递减， ∴s′(x)=-÷-l≤0在(0,+~)上恒成立， ^(a)=c1-sinx-÷≥e-1-1>0, 即当x∈(0,+~),a≤x+÷1恒成立， ∴a≤(x+÷) ∴g'(x)=e?+cosx-lnx-1在(1,+~)上单调递增， ∴g'(x)≥g'(1)=e+cos 1-0-1>0, ∴g(x)=e?+sinx-xlnx-1在(1,+~)上单调递增， ∴g(x)≥g(1)=e+sin 1-0-1>0. 综上所述，f(a)<+ain一， f(x)<8(4). ∵当x∈(0,+),x+÷≥2,当且仅当x=1时取等号， ∴当x=1时，(x+÷)=2∴a<2. ∴a的取值范围为(-,2). 4.解 (1)因为函数f(x)在[0,π]上单调递增， 所以f(x)=e2-1-asinx≥0在[0,π]上恒成立. 当a≤0时，即一a≥0,因为x∈[0,π],所以sinx≥0,则 (2)显然x=1不是 f(x)的零点，∴f(x)=0→aln x+÷= —asin x≥0.又e2-1≥0,所以e?-1-asinx≥0,即f(x) ≥0恒成立，符合题意； 0>a=- 当a>0时，令g(x)=e2—1—asinx,则g'(x)=e?一 acosx,设n(x)=e-acos x,则n1(x)=e2+asin x>0, 令h(x)=-zmx·x>0且x≠1,则h(x)=),由 h'(x)>0→x∈(÷,1)U(1,+~),h′(x)<0→则g'(x)在[0,π]上单调递增，当0<a≤1时，g'(0)=1- a≥0,g'(x)≥g'(0)=0,所以g(x)在[0,π]上单调递增， x∈(0,1)即g(x)≥g(0)=0,符合题意； 当a>1时，g'(O)=1-a<0,g'(晋)=e>0,则存在x,∈ ∴h(x)在(0.三)上单调递减，在( 递增， 1),(1,+~)上单调 [0.吾]·有g(a,)=0. h()=e;在(1,+~)上时，∴在(0,1)上时，h(x)有极小值当0<x<x?时，g'(x)<0,g(x)单调递减，此时g(x)< g(0)