期末 圆的证明专题2023-2024学年人教版九年级数学上册

2023-2024学年人教版九年级上册数学期末 圆的证明专题 1．如图，在中，，点D是边上一点，以为直径的与边相切于点E，与边交于点F，过点E作于点H，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 2．如图，在中，，以为直径的分别交于点． (1)求证：点是的中点； (2)若，求的度数． 3．已知的半径为4，是的直径，与相切于点A，， (1)求证：； (2)求图中阴影部分的面积． 4．如图所示，四边形内接于，．    求证： (1)； (2)是的直径． 5．如图，点O为线段的中点，点C为线段上一点（不与O，A重合），以点O为圆心，为半径作圆O交线段于点D、，，，连接．    (1)求证：； (2)当与圆O相切时，求的长度． 6．如图，内接于，是的直径，过点作的切线，连接，过点O作，垂足为，交于点．    (1)求证：； (2)若点到的距离为，，求直径的长． 7．如图，是的外接圆，是的直径，点B是的中点，过点B的切线与的延长线交于点D．    (1) 求证：； (2) 若的半径为6，，求的长． 8．已知：的两条弦，相交于点M，且．    (1)如图1，连接.求证：． (2)如图2.若．在上取一点E，使，交于点F，连接、．判断与是否相等，并说明理由． 9．如图，点为线段的中点，点为线段上一点（不与，重合），以点为圆心，为半径作圆交线段于点，，，，连接，．    (1)求证：； (2)当与圆相切时，求的长度． 10．如图，在中，弦与相交于点． (1)求证：． (2)连接，若是的直径，，求的度数． 11．如图所示，等边内接于，D为圆周上一点． (1)求证：平分； (2)若，，求的长度． 12．如图，是圆的直径，弦于点E，G是上任意一点，连接，，    (1)求证：； (2)若，，求圆的半径. 13．如图，四边形内接于的延长线交于点是的延长线上任意一点，平分． 求证： (1)； (2)． 14．已知，在中，弦、相交于E，点C是的中点． (1)如图1，当是直径时，求证：； (2)如图2，当时，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，作直径，连接并延长交的延长线于G，，，求的半径长． 15．如图，点P在y轴的正半轴上，交x轴于B、C两点，以为直角边作等腰，分别交y轴和于E、F两点，连接、，与相交于点G． (1)求证：； (2)若点A到的距离为1，，求线段的长； (3)求的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．（1）证明：连接， ∵⊙O与边相切， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即平分， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）在中，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 即：， ∴， 即． 2．（1）证明：连接， ∵为的直径， ∴，即， ∵， ∴， 即点E为的中点； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴． 3．（1） 证明：如图，连接，． ， ， 与相切于点A ， （2）是的直径， ， ， ， ； ∵点O是斜边上的中点， ， ， 图中阴影部分的面积是． 4．（1）证明：连接，如图， ， 而， ， ， ， ；    （2），， ， 为的直径． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径． 5．（1）证明：∵为的中点， ， ， ∵， ， ∵，， ∴， ； （2）解：如图， ∵与圆相切， ，， ∵， ， ， ∵， ， ， ． 6．（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴； （2）如图，过点作于点，则，    ∵，， ∴， ∴在中，，， ∴， ∴直径的长为． 7．（1）证明：连接OB，如图所示：    ∵是⊙O的切线， ∴， ∴． ∵点B是的中点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 即． （2）解：过点O作，如图所示：    ∵， ∴. ∵， ∴四边形为矩形， ∴ ∴． 8．（1）证明：， 即， ， ， ． （2）与相等．理由如下： 解：连接，如图，    ， ， ， ， ， ， ． 9．（1）证明：∵为的中点， ， ， ∵， ， ∵，， ∴， ； （2）如图，    ∵与圆相切， ，， ∵， ， ， ∵， ， ， ． 10．(1）证明：∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴． 11．(1）证明：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 同理可得：， ∴， 即平分； （2）解：在截取，如图， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∵和都对应， ∴， ∵为等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 12．（1）证明：，是圆的直径， ， ； （2）解：如图，连接