精品解析：广东省东莞市东华高级中学2024届高三一模数学试题

东莞东华高级中学2023-2024年高三第一次模拟考试 （新课标Ⅰ卷） 数 学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，，若为纯虚数，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 3. 中，，，，则（ ） A. B. 16 C. D. 9 4. 在斜中，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 5. 已知等差数列 与等差数列 的前 项和分别为 与 , 且, 则（ ） A. B. C. D. 6. 中国5G技术领先世界，其数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比，按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至5000，则C大约增加了（ ）． A. 20% B. 23% C. 28% D. 50% 7. 若直线与圆及圆共有3个公共点，则所有符合条件的a的和为（ ） A. 0 B. C. D. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 小明参加唱歌比赛， 现场8位评委给分分别为: 15， 16， 18， 20， 20， 22， 24， 25.按比赛规则，计算选手最后得分成绩时，要先去掉评委给分中的最高分和最低分. 现去掉这组得分中的最高分和最低分后，下列数字特征的值不会发生变化的是（ ） A. 平均数 B. 极差 C. 中位数 D. 众数 10. 已知函数在处取得最大值2，的最小正周期为，将图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度得到的图象，则下列结论正确的是（ ） A. 是图象的一条对称轴 B. C. 是奇函数 D. 方程有3个实数解 11. 如图，在棱长为2正方体中，为棱的中点，为底面内的一动点（含边界），则下列说法正确的是（ ） A. 过点，，的平面截正方体所得的截面周长为 B. 存点，使得平面 C. 若平面，则动点的轨迹长度为 D. 当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为 12. 已知为双曲线上一点，为其左右焦点，则（ ） A. 若，则的面积为 B. 若，则的周长为 C. 双曲线上存在一点，使得成等差数列 D. 有最大值 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 设的小数部分为，则__________. 14. 设为等差数列的前项和，且，则_______． 15. 已知椭圆与双曲线（，）具有相同的左、右焦点、，点为它们在第一象限的交点，动点在曲线上，若记曲线，的离心率分别为，，满足，且直线与轴的交点的坐标为，则的最大值为__________. 16. 已知函数（），若不等式对恒成立，则实数a的取值范围为 ___________． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 从下列条件中选择一个条件补充到题目中： ①，其中为的面积，②，③． 在中，角，，对应边分别为，，，_______________． （1）求角； （2）若为边的中点，，求的最大值． 18. 已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）若，求前1012项和． 19. 如图，在直三棱柱中，，分别为，的中点． （1）若，求的值； （2）求与平面所成角的正弦值． 20. 春节临近，为了吸引顾客，我市某大型商超策划了抽奖活动，计划如下：有A、B、C三个抽奖项目，它们之间相互不影响，每个项目每位顾客至多参加一次，项目A中奖的概率是，项目B和C中奖的概率都是. （1）若规定每位参加活动的顾客需要依次参加A、B、C三个项目，如果A、B、C三个项目全部中奖，顾客将获得100元奖券；如果仅有两个项目中奖，他将获得50元奖券；否则就没有奖券.求每位顾客获得奖券金额的期望； （2）若规定每位顾客等可能地参加三个项目中的一个项目.已知某顾客中奖了，求他参加的是A项目的概率. 21. 已知双曲线C：（，）的右顶点为A，左焦点为F，过点F且斜率为1的直线与C的一条渐近线垂直，垂足为N，且． （1）求C的方程． （2）过点的直线交C于，两点，直线AP，AQ分别交y轴于点G，H，试问在x轴上是否存在定点T，使得？若存在，求点T的坐标；若不存在，请说明理由． 22. 设，