复习01 空间向量及其运算（九大考点）-2024年高二数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019）

复习01空间向量及其运算 一、空间直角坐标系及有关概念 1．空间直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系，如图所示. 2．空间两点间的距离公式、中点公式 （1）距离公式 ①设点，为空间两点， 则两点间的距离. ②设点，则点与坐标原点O之间的距离为. （2）中点公式 设点为，的中点，则. 3．空间向量的有关概念 空间向量：在空间中，具有大小和方向的量 单位向量：长度(或模)为1的向量 零向量：长度(或模)为0的向量 相等向量：方向相同且模相等的向量 二、空间向量的有关定理及运算 1.共线向量定理 对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数λ，使得 推论：对空间任意一点O，点P在直线AB上的充要条件是存在实数t，使（其中）. 2.共面向量定理 如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使. 推论：空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使； 或对空间任意一点O，有. 3.空间向量基本定理 如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组，使得.其中，{}叫做空间的一个基底，都叫做基向量. 注意：（1）空间任意三个不共面的向量都可构成基底； （2）基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示；（3）不能作为基向量. 4.空间向量的运算 设， 则，，， ，， ，. 考点01空间向量的线性运算 【方法点拨】用已知向量表示未知向量,是向量线性运算的基础类型,解决这类问题,要注意两个方面: ①熟练掌握空间向量线性运算法则和运算律；②要注意数形结合思想的运用 【例1】如图，在空间四边形中，则（    ） A． B． C． D． 【例2】如图，四棱锥的底面是平行四边形，若，，，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】在平行六面体中，，点P在线段上，且，则下列向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（多选）如图，空间四边形中，，分别是边，上的点，且，，点是线段的中点，则以下向量表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】在四面体 中，分别为的中点，则 考点02空间向量的基底问题 【方法点拨】用基底表示向量的三个步骤： ①定基底:根据已知条件,确定三个不共面的向量构成空间的一个基底； ②找目标:用确定的基底(或已知基底)表示目标向量,需要根据三角形法则及平行四边形法则,结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简,最后求出结果. ③下结论:利用空间向量的一个基底可以表示出空间所有向量.表示要彻底,结果中只能含有,不能含有其他形式的向量. 【例3】（多选）在四棱台中，空间的一个基底可能是（    ） A． B． C． D． 【例4】如图，在四面体中，点为底面三角形的重心，为的中点，设，，则在基底下的有序实数组为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知三棱锥，点是的中点，点是的重心（三角形三条中线的交点叫三角形的重心）设，，，则向量用基底可表示为（    ）    A． B． C． D． 【变式2-2】（多选）已知是空间中不共面的三个向量，则下列向量能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】如图，在梯形ABCD中，，，点为空间任一点，设，，，则向量用，，表示为 . 考点03空间向量的坐标运算 【例5】在轴上且与点和点距离相等的点是（　　） A． B． C． D． 【例6】，，，为坐标原点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知向量，，，若，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】向量，向量在向量上的投影向量坐标是 . 考点04空间向量的共线问题 【方法点拨】（1）应用向量的方法判定两直线平行,只需判断两直线的方向向量是否共线. （2）已知向量平行,可设,建立关于参数的方程，尽量选择坐标形式，以达到简化运算的目的. 【例7】设向量不共面，已知，，若三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【例8】如图，在三棱柱中，为空间一点，且满足， ，则下列说法错误的是（　　） A．当时，点在棱上 B．当时，点在线段上 C．当时，点在棱上 D．当时，点在线段上 【变式4-1】已知非零向量，，且、、不共面．若，则（    ）． A． B． C． D． 【变式4-2】如图所示，在正方体中，点在上，且，点在体对角线上，且．求证：，，三点共线．    【变式4-3】已知向量，，不共面，，，．求证：B，C