2.2 切线长定理 课件 2023—2024 学年浙教版数学九年级下册

教学课件 数学 九年级下册 浙教版 第2章 直线与圆的位置关系 2.2 切线长定理 1、如何过⊙O外一点P画出⊙O的切线？ 2、这样的切线能画出几条？ 如下左图，借助三角板，我们可以画出PA是⊙O的切线。 3、如果∠P=50°,求∠AOB的度数 画一画 50° 130° P O 课外补充 O A B P 思考：已画出切线PA、PB，A、B为切点，则∠OAP= 90 °,连接OP，可知A、B 除了在⊙O上，还在怎样的圆上? 如何用圆规和直尺作出这两条切线呢？ 尺规作图：过⊙O外一点作⊙O的切线 · O P A B 在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长 切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别与联系呢？ 切线长的概念 · O P A B · · 切线和切线长是两个不同的概念： 1、切线是一条与圆相切的直线，不能度量； 2、切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量。 切线和切线长 O P A B 思考:已知⊙O切线PA、PB，A、B为切 点，把圆沿着直线OP对折,你能发现什么? O A B P 1 2 请证明你所发现的结论。 PA = PB ∠OPA=∠OPB 证明：∵PA，PB与⊙O相切，A，B是切点 ∴OA⊥PA，OB⊥PB ， 即∠OAP=∠OBP=90° ∵ OA=OB，OP=OP ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL) ∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB 试用文字语言叙述你所发现的结论 B P O A PA、PB分别切⊙O于A、B PA = PB ∠OPA=∠OPB 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 几何语言: 反思：切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法 O P A B 若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明. 结论：OP垂直平分AB 证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点， ∴PA = PB，∠OPA=∠OPB ∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线， ∴OP垂直平分AB B P O A M 若延长PO交⊙O于点C，连结CA、CB，你又能得出什么新的结论?并给出证明. 结论：CA=CB 证明：∵PA，PB是⊙O的切线, 点A，B是切点 ∴PA = PB ∠OPA=∠OPB ∴PC=PC ∴ △PCA ≌ △PCB ∴AC=BC B P O A C （3）连结圆心和圆外一点 （2）连结两切点 （1）分别连结圆心和切点 P B A O 反思：在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形。 例1、已知：P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，A、B为切点，BC是直径。 求证：AC∥OP P A C B D O 例题讲解 练习1.（口答）如图PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线分别相交于C、D，已知PA=7cm， (1)求△PCD的周长． (2) 如果∠P=46°,求∠COD的度数 C · O P B D A E 例2 、如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、 DA和圆⊙O分别相切于点L、M、N、P， 求证： AD+BC=AB+CD D L M N A B C O P 证明：由切线长定理得 ∴AL=AP，LB=MB,NC=MC， DN=DP ∴AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP 即 AB+CD=AD+BC 补充：圆的外切四边形的两组对边的和相等． 例3.如图，△ABC中,∠C =90º ,它的内切圆O分别与边AB、BC、CA相切于点D、E、F，且BD=12,AD=8， 求⊙O的半径r. O E B D C A F 练习2.如图，AB是⊙O的直径，AD、DC、BC是切线，点A、E、B为切点， (1)求证：OD ⊥ OC (2)若BC=9，AD=4，求OB的长. O A B C D E 4、OP交⊙O于M,则 ，AB OP 牛刀小试 P A B C O M 3、若∠P=70°，则∠AOB= ° 2、已知OA=3cm,OP=6cm，则∠APB= 。 60° AM＝BM ⌒ ⌒ 110 1、若PA=4、PM=2，求圆O的半径OA。 OA=3 ⊥ 5、已知：如图,PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为AB上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA=12CM，求△PEF