7.4事件的独立性 教案-2023-2024学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

1. 概率 7.4 事件的独立性 7.4事件的独立性 · 教学目标 1、结合实例，理解两个随机事件独立的意义，并会判断两个事件的独立性，培养学生数学抽象的数学素养； 2、理解概率的乘法公式，提升学生数学逻辑推理的数学素养； 3、掌握并综合运用互斥事件的概率加法公式和独立事件的概率乘法公式解题，提升学生数学运算的数学素养. · 教学重难点 · 教学重点：独立事件的定义、概率的乘法公式、互斥事件的概率加法公式和独立事件的概率乘法公式 教学难点：判断两个随机事件的独立性，互斥和独立的区别与联系 · 课前准备 PPT课件． · 教学过程 一、整体概览 问题1：阅读课本，回答下列问题： （1）本节将要研究哪类问题？ （2）本节要研究的问题在数学中的地位是怎样的？ 师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结本节的内容. 预设的答案：本节课是概率的最后一节内容，安排在学习了古典概型，频率与概率的关系之后.随机事件的独立性是概率论非常重要的概念之一，它的引进极大地推动了概率论的发展，概率论中很多重要的结论大都是在独立论地假定下获得的.对于高中阶段的概率知识来说，独立性的概念的引入，一方面很大程度上简化了多个事件同时发生的概率的求法，另一方面也为后续二项分布等的介绍做铺垫.不过，需要注意的是，随机事件的独立性是一个比较抽象的概念，要对独立性产生准确理解，并不是一件容易的事.本节课的教学重点是通过实例，让学生理解两个随机事件的独立性的意义，培养学生数学抽象的核心素养，并掌握相互独立事件的概率乘法公式，运用公式求事件的概率，提升数学运算，逻辑推理的核心素养. 设计意图：通过本节课内容的预习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架. 二、探索新知 1.新课导入 五一劳动节学校放假三天，甲、乙两名同学都打算去敬老院做志愿者，甲同学准备在三天中随机选一天，乙同学准备在前两天中随机选一天. 记事件：甲选的是第一天，：乙选的是第一天. （1）直觉上，你觉得事件是否发生会影响事件发生的概率吗？ （2）求出，，的值，观察这三个值之间的关系. 追问： （1）如果用表示甲选的是第天，乙选的是第天，请写出样本空间； （2）请分别写出事件、事件以及事件包含的样本点； （3）请分别算出，，的值. 师生活动：学生自主解答，尝试给出答案. 预设的答案： 如果用表示甲选的是第i天，乙选的是第j天，则样本空间可以记为： 共包含6个样本点. 又因为： 因此，可以算出： 设计意图：给出了学生直观上来理解独立性的情景，因为甲、乙都是随机选择，因此他们事先是没有商量的，从而可以知道事件是否发生是不会影响事件是否发生的概率. 三、形成定义 一般地，事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫作相互独立事件. 两个相互独立事件同时发生的概率，等于这两个事件发生的概率的积，即 . 事件A与B相互独立的直观理解是，事件A是否发生不会影响事件B发生的概率，事件B是否发生也不会影响事件A发生的概率. （1）如果事件A与B相互独立，则 与B，A与，与也相互独立. （2）对于n个事件A1，A2，…，An，如果其中任一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称n个事件A1，A2，…，An相互独立．则 独立事件的概率乘法公式 （1） 若A与B相互独立，则，同时，， ; (2)若两两独立，则. 是判断A与B相互独立的依据， （1） 必然事件与任意事件A独立，因为且因为 （2） 不可能事件与任意事件A独立，因为且因此. 四、初步应用 例1. 甲、乙两人独立破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为 和 ，求： （1）两人都译出密码的概率； （2）两人都译不出密码的概率； （3）恰有一人译出密码的概率； （4）至多有一人译出密码的概率； （5）至少有一人译出密码的概率. 师生活动：学生自主解答，尝试给出答案，教师指导 预设的答案： 解：记“甲独立译出密码”为事件A，“乙独立译出密码”为事件B，A与B为相互独立事件，且P（A）= ，P（B）= （1）设事件C表示“两人都译出密码”，则C=AB.因为A与B相互独立，所以 即两人都译出密码的概率为 （2）设事件D表示“两人都译不出密码”，则.因为A与B相互独立，所以与也相互独立.因此， 即两人都译不出密码的概率为 （3）设事件E表示“恰有一人译出密码”，事件E可以看作事件“甲译出密码且乙未译出密码”与事件“甲未译出密码且乙译出密码”的并事件，所以，且两个事件与彼此互斥，因此 即恰有一人译出密码的概率为 （4）设事件F表示“至多有一人译出密码”.设事件F的对立事件为“两人都译出密码”，所以F= ， 即至多有一人译出密码的概率为 （5）设事件G表示“至少有一人译出密码”，事件G的对