5.5.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

5.5.1.2 两角和与差的 正弦、余弦、正切公式 相传“变脸”是古代人类面对凶猛的野兽时为了生存，把自己脸部用不同的方式勾画出不同形态，以吓唬入侵的野兽.川剧把“变脸”搬上舞台，用绝妙的技巧使它成为一门独特的艺术. 一、引入新课 由上面公式出发，你能推出两角和与差的三角函数的其他公式吗？ 两角差的余弦公式： 在三角函数中也有这样的表演者. 两角和的余弦公式的推导 提示: 二、新知探究 两角和的余弦公式 公式的结构特征: 左边是复角α＋β的余弦,右边是单角α，β的余弦积与正弦积的差. 两角和与差的正弦公式 1.利用哪些公式可以实现正弦、余弦的互化？ 提示: 2.由两角和与差的余弦公式如何推导两角和与差的正弦公式？ 提示: 两角和的正弦公式 简记： 公式的结构特征: 左边是复角α＋β的正弦,右边是单角α，β的正、余弦积与余、正弦积的和. 3.由和角正弦公式，你能得到差角的正弦公式吗？ 提示: 两角差的正弦公式 简记： 异名积，符号同. 两角和与差的正切公式的推导 当cos(α+β)≠0你能用sin（α＋β）， cos(α＋β)表示tan(α+β)吗？ 提示: 称为两角和的正切公式. 类比和角的正切公式，如何推导差角的正切公式？ 称为两角差的正切公式. 提示: 三、应用举例 例1.已知sinα=,α是第四象限角,求sin(-α) ，cos(+α)，tan(α-)的值. 解：因为sinα=,α是第四象限角，得cosα=， 于是有：sin(-α)=sincosα-cossinα=, cos(α)=coscosα-sinsinα=, tan(α-)===-7. 总结：解答此类问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示出来，一般注意以下几方面： (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两“已知角”的和与差的形式. (2)当“已知角”有一个时，应注意“所求角”与“已知角”的和与差的形式，“所求角”再用诱导公式变成“已知角”. (3)角的拆分方法不唯一，应根据题目合理拆分. (4)用同角三角函数的基本关系式求值时，一定要注意角的范围. 变式1.已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0＜β＜α＜， 则sin β＝________. 解：∵0＜β＜α＜， ∴0＜α－β＜，sin α＝＝. ∴sin(α－β)＝＝. ∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝. 解：（1）由公式,得 -===. （2）由公式,得 ===0. （3）由公式,得====. 总结：1.对于非特殊角的三角函数式，要想利用两角和与差的正弦、余弦公式求出具体数值，一般有以下三种途径： (1)化为特殊角的三角函数值； (2)化为正负相消的项，消去，求值； (3)化为分子、分母形式，进行约分再求值. 2.在进行求值过程的变换中，一定要本着先整体后局部的基本原则，先整体分析三角函数式的特点，如果整体符合三角公式，则整体变形，否则进行各局部的变换. 3.公式T(α＋β)，T(α－β)是变形较多的两个公式，公式中有 tan α·tan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β)).三者知二可表示或求出第三个. 变式2.运用公式求值 (1)求sin 157°cos 67°＋cos 23°sin 67°的值； (2)求sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)的值. 解：(1)原式＝sin(180°－23°)cos 67°＋cos 23°sin 67° ＝sin 23°cos 67°＋cos 23°sin 67° ＝sin(23°＋67°)＝sin 90°＝1. (2)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°) ＝sin(θ＋15°＋60°)＋cos(θ＋15°＋30°)－cos(θ＋15°) ＝sin(θ＋15°)cos 60°＋cos(θ＋15°)sin 60°＋cos(θ＋15°)cos 30°－sin(θ＋15°)sin 30°－cos(θ＋15°) ＝sin(θ＋15°)＋cos(θ＋15°)＋cos(θ＋15°)－sin(θ＋15°)－cos(θ＋15°)＝0. 变式3.求下列各式的值： (1)tan 15°； (2)； (3)tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°. 解：(1)tan 15°＝tan(45°－30°) =====2-. (2)＝＝ ＝tan(30°－75°)＝tan(－45°)＝－tan 45°＝－1. (3)∵tan(23°＋37°)＝tan 60°＝＝， ∴tan 23°＋tan 37°＝ (1－tan 23°tan 37°)， ∴原式＝ (1－tan