5.5.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

5.5.1.3 二倍角的 正弦、余弦、正切公式 一、引入新课 那么sin2α=2sinα吗？显然不是对于所有的角都成立，比如α=30°就不成立，那它等于什么，用什么表示？ 探究1.二倍角的正弦、余弦、正切公式 二倍角的正弦公式. 简记为 二、探究新知 在推导sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ时，是对cos(α+β)进行特殊化得到的，如果令β=α，得到什么结论？ 二倍角的余弦公式. 简记为 二倍角的正切公式. 简记为 探究2.思考：把上述关于cos2α的式子能否变成只含有sinα或cosα形式的式子呢？ 推导：由sin2α+ cos2α=1, 变形式：cos2α= cos2α-sin2α=1-sin2α-sin2α=1-2sin2α； cos2α= cos2α-sin2α=cos2α-(1- cos2α)=2cos2α-1； 记忆：从左到右，由一次式到右端的二次式，但角却由二倍角变为单角. 7 倍角公式 这里的“倍角”专指“二倍角”，遇到“三倍角”等名词时，“三”字等不能省去. 探究3.思考：二倍角公式，对任意角α都适合吗？ 当 时， 的值不存在，求 的值可利用诱导公式，正弦、余弦倍角公式中为任意角. 二倍角公式中的倍数关系是相对的，2α是α的二倍的形式，其实4α也是2α的两倍，是的两倍等，所有这些都可以应用二倍角公式.因此，要理解“二倍角”的含义，即当α=2β时，α就是β的二倍角.凡是符合二倍角关系的就可以应用二倍角公式. 思考：二倍角公式，“倍角”如何理解？ 三、理解新知  1．填角：sin=2sin cos . sinα=2sin cos . cos3α=cos2 -sin2 =1-2sin2 =2cos2 -1. 2．填空：tan4α= .（用2α表示） sincos= . 口答： 四、应用举例 总结：对于给角求值问题，一般有两类： (1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化，一般可以化为特殊角. (2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现连用二倍角的正弦公式的形式. 总结：1.条件求值问题常有两种解题途径： (1)对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢； (2)对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论. 2.当遇到±x这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通. 总结：1.对于三角函数式的化简有下面的要求：(1)能求出值的应求出值.(2)使三角函数种数尽量少.(3)使三角函数式中的项数尽量少.(4)尽量使分母不含有三角函数.(5)尽量使被开方数不含三角函数. 2.化简的方法：(1)弦切互化，异名化同名，异角化同角. (2)降幂或升幂. (3)一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin2θ. 五、课堂总结 谢 谢！ 同学们，上几节课学习了两角和与差的正弦、余弦、正切公式，知道是用简单的角的三角函数表达复杂角的三角函数，知道 并不简单的等于 ，请同学们回忆这些公式并默写出来。 例1、求下列各式的值： (1)coseq \f(π,5)coseq \f(2π,5)； (2)eq \f(1,2)－cos2eq \f(π,8)； (3)eq \f(2tan 150°,1－tan2150°)；(4)sin 10°sin 50°sin 70°. 解：(1)原式＝ ＝ ＝＝＝. (2)原式＝eq \f(1－2cos2\f(π,8),2) ＝－eq \f(2cos2\f(π,8)－1,2) ＝－eq \f(1,2)coseq \f(π,4)＝－eq \f(\r(2),4). (3)原式＝tan 300°＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－eq \r(3). (4)原式＝cos 20°cos 40°cos 80° ＝eq \f(2sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°,2sin 20°) ＝eq \f(1,8)×eq \f(sin 160°,sin 20°) ＝eq \f(1,8). 变式1. 求下列各式的值. (1)cos 72°cos 36°；(2)eq \f(1,sin 50°)＋eq \f(\r(3),cos 50°) . 解：(1)原式＝eq \f(2sin 36°cos