5.5.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

5.5.1.2 两角和与差的 正弦、余弦、正切公式 回顾两角差的余弦公式： 一、引入新课 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ. 思考：如果此处是求cosαcosβ-sinαsinβ的值呢？如何处理？ 计算：（1）cos105°cos15°+ sin105°sin15°； （2）-cos(θ+21°)cos（θ-24°）-sin(θ+21°)sin（θ-24°）. 1.两角和余弦公式的推导 减法与加法之间的关系是什么？ 二、探究新知 利用公式C(α-β) ，则有 cos(α+β) =cos[α-(-β)] =cosαcos(-β)+sinαsin(-β) =cosαcosβ-sinαsinβ 这便是两角和的余弦公式，简记为C(α+β) . 互为逆运算 两角和与差的余弦公式的适用范围及公式的特征有哪些？ (1)适用范围：没有限制条件，α、β、α＋β、α－β均为任意角， 可以是数、字母和代数式． (2)公式特征：同名异号——同名：两同名三角函数相乘； 异号：公式左右加减号相反． 2.两角和与差的正弦公式的推导 上面我们得到了两角和与差的余弦公式.我们知道，用诱导公 式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化.你能根据C(α±β) 及诱导公式五（或六），推导出用任意角α，β的正弦、余弦 值表示sin(α+β)、sin(α-β)的公式吗？ sin(α-β) =cos[(-α)+β] =cos(-α)cosβ-sin(-α)sinβ =sinαcosβ-cosαsinβ sin(α+β) =cos[(-α)-β] =cos(-α)cosβ+sin(-α)sinβ =sinαcosβ+cosαsinβ =cos[-（α+β）] =cos[-（α-β）] （S（α+β）） （S（α-β）） 两角和与差的正弦公式的适用范围及公式的特征有哪些？ (1)适用范围：没有限制条件，α、β、α＋β、α－β均为任意角， 可以是数、字母和代数式． (2)公式特征：“异名同号”——异名：两异名三角函数相乘； 同号：公式左右加减号相同． 3.两角和与差的正切公式 你能根据正切函数与正弦函数，余弦函数的关系，从C(α±β)，S(α±β)出发，推导出用任意角α，β的正切表示α±β的正切公式吗？ 如果cosαcosβ≠0,即cosα≠0且cosβ≠0时,分子、分母同除以cosαcosβ 得tan(α+β)=， 据角α、β的任意性，在上面的式子中， β用-β代之，则有tan(α-β)=. 当cos(α+β)≠0时，tan(α+β)=. 结论：tan(α+β)= ,tan(α-β)= . （T（α+β）） （T（α-β）） 两角和与差的正切公式的适用范围及公式的特征有哪些？ (1) 适用范围：限制条件：α、β、α＋β均不为kπ＋ (k∈Z)； 可以是数、字母和代数式． (2)公式特征：同名；分子同号，分母异号. 从公式推导过程进行说理： cos(α＋β)≠0，则α＋β≠kπ＋；同除cos α、cos β，得cos α≠0， cos β≠0，则α≠kπ＋，β≠kπ＋.cos x≠0，保证了tan x有意义． 三、运用新知 例1.已知sinα=,α是第四象限角,求sin(-α) ，cos(+α)，tan(α-)的值. 解：因为sinα=,α是第四象限角，得cosα=， 于是有：sin(-α)=sincosα-cossinα= cos(+α)=coscosα-sinsinα= tan(α-)===-7. （1）由公式,得 -===. （2）由公式,得 ===0. （3）由公式,得====. 1.下列式子恒成立的是 （ ）　　 A．sin(α+β)=sinα+sinβ B．cos(α-β)=cosαcosβ+ sinαsinβ C．sin(α-β)=cosαcosβ- sinαsinβ D．cos(α+β)=cosαsinβ+ sinαcosβ 解析：根据两角和差的正弦公式、余弦公式可得 cos(α-β)=cosαcosβ+ sinαsinβ恒成立． 四、学生练习 B 2.求 sin 7°cos 37°－sin 83°cos 53°的值. 解：原式=cos83°cos37°－sin83°sin37° =cos(83°+37°)