5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（第1课时）课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 第1课时 正弦函数、余弦函数的性质（一） 一、创设情境，提出问题 诗句鉴赏： [1] 茫茫天地，不知所止； 日月循环，周而复始. [2] 春有百花秋有月，夏有凉风冬有雪； 若无闲事挂心头，便是人间好时节. 日月交替，四季轮回， 这些生活现象有什么特点？ 2 观察正弦函数图象，并依据诱导公式sin(x+2π)=sinx（kZ），你发现了什么规律？ 横坐标每隔2π个单位长度，就会出现纵坐标相同的点. 3 二、师生互动，探究新知 一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）=f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期. 探究1：周期性 问题1：周期函数的周期是唯一的吗？ 正弦函数的周期 2π，4π，6π，…以及-2π，-4π，-6π，… kZ且k≠0，常数2kπ 周期函数的周期不止一个，具有不唯一性. 如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期. 正弦函数是周期函数，________________都是它的周期，最小正周期是_____. 余弦函数也是周期函数， ________________都是它的周期，最小正周期是_____. 2π 2kπ（kZ且k≠0） 2kπ（kZ且k≠0） 2π 问题2：最小正周期一定存在吗？ 最小正周期不一定存在. 例如常函数f（x）=c（c为常数），所有非零常数T都是它的周期，显然在非零实数组成的集合中并不存在最小的正数，所以常函数并不存在最小正周期. 探究2：奇偶性 观察正弦曲线和余弦曲线，可以看到正弦曲线关于________对称，余弦曲线关于______对称. 原点O y轴 这个事实也可由诱导公式sin（-x）=_______，cos（-x）=______得到. -sinx cosx 正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数. 三、典例精讲，能力提升 求下列函数的周期： （1）y=3sinx，xR； （2）y=cos2x，xR； （3） ，xR . 解：（1）xR，有3sin（x+2π）=3sinx. 由周期函数的定义可知，原函数的周期为2π. 例1 三、典例精讲，能力提升 解：（2）令z=2x，由xR得zR，且y=cosz的周期为2π， 即cos（z+2π）=cosz， 于是cos（2x+2π）=cos2x， 所以cos2（x+π）=cos2x，xR. 由周期函数的定义可知，原函数的周期为π. 求下列函数的周期： （1）y=3sinx，xR； （2）y=cos2x，xR； （3） ，xR . 例1 三、典例精讲，能力提升 求下列函数的周期： （1）y=3sinx，xR； （2）y=cos2x，xR； （3） ，xR . 例1 解：（3）令z= ，由得z ，且y=2sinz的周期为2π， 即2sin（z+2π）=2sinz， 于是2sin（ +2π）=2sin（ ）， 所以2sin[（x+4π）- ]=2sin（ ）. 由周期函数的定义可知，原函数的周期为4π. 思考1：回顾例1的解答过程你能发现函数y=Asin（ωx+φ），xR和y=Acos（ωx+φ），xR的周期与解析式中哪些量有关吗？ 仅与自变量的系数有关. 思考2：如何用自变量的系数表示上述周期函数的周期呢？ 令z= ωx+φ，那么由xR得zR， 且函数y=Asinz，zR及函数y=Acosz，zR的周期都是2π. 因为z+2π=（ ωx+φ ）+2π= ω（x+）+ φ， 所以上述周期函数的周期为T=. 例2 定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数.若f（x）的最小正周期是π，且当x[0，]时，f（x）=sinx，求f（）的值. 解：由f（x）的最小正周期是π，f（）= f（）= f（-）. 由f（x）是偶函数，知f（-）= f（）. 又因为当x[0，]时， f（x）=sinx， 所以f（）=sin =. 即f（）=. 四、随堂练习，学以致用 1.求下列函数的周期： （1）y=sinx，xR；（2）y=cos4x，xR； 解：（1）3π；（2）. 2.下列函数中，哪些是奇函数？哪些是偶函数？ （1）y=sinx；（2）y=1-cos2x；（3）y=-3sin2x； 解：（1）偶函数；（2）偶函数；（3）奇函数. 四、