5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（第2课时）课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 第2课时 正弦函数、余弦函数的性质（二） 理解正弦函数和余弦函数的单调性、最大值与最小值的概念； 会求三角函数的单调区间，会求三角函数的最值； 经历过程探究、从直观到抽象、从特殊到一般、类比研究的过程，形成理性数学思维，体会事物互相联系、互相影响的辩证主义唯物观. 学习目标 一、回顾引入 回忆并画出正弦曲线和余弦曲线，观察它们的形状及在坐标系中的位置. x y O - -1 2 3 4 -2 -3 1  y=sin x y x O - -1 2 3 4 -2 -3 1  - - - - - - y=cos x 观察正弦曲线和余弦曲线，说出正弦函数、余弦函数的定义域各是什么，值域各是什么.由值域又能得到什么结论？ x y O - -1 2 3 4 -2 -3 1  y=sin x y x O - -1 2 3 4 -2 -3 1  - - - - - - y=cos x 正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R. 观察正弦曲线和余弦曲线易得函数上、下都有界，可以得 到正弦函数、余弦函数的值域都是[-1，1]. 二、新知探究 证明：∵正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度， ∴｜sin x｜≤1，｜cos x｜≤1， 即-1≤sin x≤1，-1≤cos x≤1. 也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是［-1，1］. 你知道如何证明正弦函数、余弦函数的值域是［-1，1］吗？ x y O - -1 2 3 4 -2 -3 1  y=sin x y x O - -1 2 3 4 -2 -3 1  - - - - - - y=cos x 对于正弦函数y=sin x(x∈R)， (1)当且仅当x=+2kπ，k∈Z时，取得最大值1； (2)当且仅当x=-+2kπ，k∈Z时，取得最小值-1. x y O - -1 2 3 4 -2 -3 1  y=sin x y x O - -1 2 3 4 -2 -3 1  - - - - - - y=cos x 对于余弦函数y=cos x(x∈R)， (1)当且仅当x=2kπ，k∈Z时，取得最大值1； (2)当且仅当x=(2k+1)π，k∈Z时，取得最小值-1. 观察正弦曲线和余弦曲线，函数值的增减变化有什么特点？ 由于正弦函数是周期函数，我们可以先在它的一个周期的区间（如[-，]）上讨论它的单调性，再利用它的周期性，将单调性扩展到整个定义域. 余弦函数类似. x - 0 π sin x -1 0 1 0 -1 ↗ ↗ ↗ ↗ ↗ ↘ ↗ ↘ 当x∈[－，]时，曲线逐渐上升，是增函数， sin x的值由－1增大到1； 当x∈[，]时，曲线逐渐下降，是减函数， sin x的值由1减小到－1. y=sin x O x y 1 -1 - x - - 0 cos x -1 0 1 0 -1 ↗ ↗ ↗ ↗ ↗ ↘ ↗ ↘ y=cos x 类似地，同样可得y＝cos x，x∈[－π，π]的单调变化情况． 当x∈[－π，0]时，曲线逐渐上升，是增函数， cos x的值由－1增大到1； 当x∈[0，π]时，曲线逐渐下降，是减函数， cos x的值由1减小到－1. 正弦函数在每一个闭区间[-＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间[＋2kπ， ＋2kπ] (k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1. 结合正弦函数、余弦函数的周期性可知： 余弦函数在每一个闭区间[(2k－1)π，2kπ](k∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间[2kπ，(2k＋1)π] (k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1. 三、典例精讲 例1 比较大小：(1)cos(-)与cos ；(2)sin 与cos . 解:（1）cos(-)＝cos ＝cos(π-)＝－cos ， 而cos＝－cos ， ∵0＜＜＜，∴cos ＞cos . ∴－cos ＜－cos ， ∴cos(-)＜cos . 单调性的应用 例1 比较大小：(1)cos(-)与cos ；(2)sin 与cos . (2)∵cos ＝sin(＋)，＜＜＋＜， y＝sin x在[，]上是减函数， ∴sin＞sin(＋)＝cos ， 即sin ＞cos . 单调性的应用 1.比较同名三角函数值的大小时，首先应把三角函数转化为同一单调区间上的同名三角函数，利用单调性，由自变量的大小，确定函数值的大小. 2.比较不同名的