5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（第2课时）课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 第2课时 正弦函数、余弦函数的性质（二） 理解正弦函数和余弦函数的单调性、最大值与最小值的概念； 会求三角函数的单调区间，会求三角函数的最值； 经历过程探究、从直观到抽象、从特殊到一般、类比研究的过程，形成理性数学思维，体会事物互相联系、互相影响的辩证主义唯物观. 学习目标 一、自主探究 （1）观察正弦函数和余弦函数的图象，正、余弦函数的定义域、值域各是什么？ 正、余弦函数的定义域为R，值域为[－1，1]． y＝sin x在[-，]上，曲线逐渐上升，是增函数，函数值y由－1增大到1；在[，]上，曲线逐渐下降，是减函数，函数值y由1减小到－1. （2）正弦函数在[-，]上函数值的变化有什么特点？余弦函数在[-π，π]上函数值的变化有什么特点？ y＝cos x在[-π，0]上，曲线逐渐上升，是增函数，函数值由－1增大到1；在[0，π]上，曲线逐渐下降，是减函数，函数值由1减小到－1. （2）正弦函数在[-，]上函数值的变化有什么特点？余弦函数在[-π，π]上函数值的变化有什么特点？ 二、归纳对比 正、余弦函数的性质：   y＝sin x y＝cos x 图象 定义域 值域 单调性 最值 x＝2kπ＋，k∈Z时，ymax＝1； x＝2kπ－，k∈Z时，ymin＝－1 x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1； x＝2kπ＋π，k∈Z时，ymin＝－1 在[2kπ-，2kπ+](k∈Z)上递增； 在[2kπ+，2kπ+](k∈Z)上递减 在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上递增； 在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上递减 [－1，1] R R [－1，1] 例1 (1)函数y＝3sin(-)的单调递增区间为___________________________． 解析：(1)y＝3sin(-) ＝-3sin (-) ，令u＝-， 则y＝-3sin u的单调递增区间，对应于y＝sin u的单调递减区间． 令2kπ＋≤u≤2kπ＋(k∈Z)，即2kπ＋≤ -≤2kπ＋(k∈Z)， 得4kπ＋≤x≤4kπ＋(k∈Z)， ∴y＝3sin (-)的单调递增区间为[4kπ＋，4kπ＋](k∈Z)． 三、典例精讲 [4kπ＋，4kπ＋](k∈Z) (2)令z＝2x＋，而函数y＝cos z的单调递减区间是 [2kπ，2kπ＋π](k∈Z)， 故原函数单调递减时，可得2kπ≤2x＋≤2kπ＋π(k∈Z)， 解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)， ∴y＝cos(2x+)的单调递减区间是[kπ－，kπ＋](k∈Z)． 例1 (2)函数y＝cos(2x+)的单调递减区间为______________________． [kπ－，kπ＋](k∈Z) (3)由题意可知f(x)＝2sin ωx(0＜ω＜1)在区间[0，]上为增 函数且2sin ω＝，即sin ω＝， 所以有ω＝2kπ＋(k∈Z)，即ω＝6k＋(k∈Z)， ∵0＜ω＜1，∴ω＝ . 例1 (3)若f(x)＝2sin ωx(0＜ω＜1)在区间[0，]上的最大值为，则ω＝____. 求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的函数的单调区间时，若ω为负数，则要先把ω化为正数． 当A＞0时，把ωx＋φ整体放入y＝sin x或y＝cos x的单调增区间内，求得的x的范围即函数的增区间；整体放入y＝sin x 或y＝cos x的单调减区间内，可求得函数的减区间． 当A＜0时，上述方法求出的区间是其单调性相反的区间． 【方法讲解】 【随堂训练】 1.求下列函数的单调区间． (1)y＝sin(x-)； (2)y＝cos 2x. 解：(1)令u＝x-， 函数y＝sin u的单调递增区间为[2kπ-，2kπ+]，k∈Z， 单调递减区间为[2kπ+，2kπ+] ，k∈Z. 由2kπ-≤x-≤2kπ＋，k∈Z， 得2kπ-≤x≤2kπ＋，k∈Z； 1.求下列函数的单调区间． (1)y＝sin(x-)； (2)y＝cos 2x. 由2kπ＋≤x-≤2kπ＋，k∈Z， 得2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z. 故函数y＝sin(x-)的单调递增区间是[2kπ-，2kπ＋]，k∈Z， 单调递减区间是[2kπ＋，2kπ＋]，k∈Z. (2)由2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z， 得kπ－≤x≤kπ，k∈Z； 由2kπ≤2x≤2kπ＋π，k∈Z， 得kπ≤x≤kπ＋，k∈Z. 故函数y＝cos 2x的单调递增区间为[kπ－，kπ]，k∈Z， 单调递减区间为[kπ，kπ＋]，k∈Z. 1.求下列函数的单调区间． (1)y＝sin(x-)； (2)y＝cos 2x.