上海市建平中学2023-2024学年高二上学期期末质量监测数学试卷

上海市建平中学2023学年第一学期期末质量监测 高二数学试卷 一、填空题（1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54分） 1. 椭圆离心率为______. 2. 已知球的半径为5，则球的一个大圆的面积为______. 3. 函数的最小正周期为________. 4. 过点作圆的切线，则切线方程为______. 5. 若函数是奇函数，则______. 6. 如图所示，正四面体的棱长为1，则点到平面的距离为______. 7. 设，，是空间中三个向量，且共面，则______. 8. 如图所示，圆柱的轴截面是正方形，E是半圆弧AB的中点，则异面直线和所成角的大小为______. 9. 若不等式对任意都成立，则实数最大值为______. 10. 已知双曲线的焦点到渐近线的距离为，且直线与双曲线没有公共点，则的取值范围是______. 11. 在空间直角坐标系中，表示经过点，且方向向量为的直线的方程，则点到直线的距离为______. 12. 已知抛物线的焦点为，经过的直线与抛物线交于两点，设点M在抛物线的准线上，若是等腰直角三角形，则______. 二、单选题（13、14题每题4分，15、16题每题5分，共18分） 13. 下列关于直线与平面垂直的判断中，正确的是（ ）. A. 若直线与平面内的一条直线垂直，则直线与平面垂直 B. 若直线与平面内的两条平行直线垂直，则直线与平面垂直 C. 若直线与平面内的两条相交直线垂直，则直线与平面垂直 D. 若直线与平面内的无数条直线垂直，则直线与平面垂直 14. 已知实数、满足，则下列关系式恒成立的是（ ）. A. B. C. D. 15. 已知椭圆，作垂直于轴的直线交椭圆于两点，作垂直于轴的直线交椭圆于两点，且，两垂线相交于点，若点的轨迹是某种曲线（或其一部分），则该曲线是（ ）. A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 16. 设分别是四棱锥侧棱上的点.给出以下两个命题，则（ ）. ①若平行四边形，但不是菱形，则可能是菱形； ②若不是平行四边形，则可能是平行四边形. A ①真②真 B. ①真②假 C. ①假②真 D. ①假②假 三、解答题（17、18、19题每题14分，20、21题每题18分，共78分） 17. 在圆锥中，是底面圆周上一点.设的长为1，且圆锥的侧面展开图是半圆. （1）记圆锥的底面圆半径为，母线长为，则圆锥的侧面积______（用表示）；在本题中，求圆锥的侧面积； （2）求母线与底面所成角的大小. 18. 设的内角、、的对边长分别为、、，. （1）若，求角的大小； （2）若，求的值和的面积. 19. 上海中心大厦是上海市的地标建筑，现为中国第一高楼.为有效减少建筑所受的风荷载，通常对建筑体型进行一定的扭转.上海中心大厦的主楼可近似看成将正三棱柱的一个底面扭转所得的几何体；将正三棱柱的底面在其所在平面内绕的中心逆时针旋转得到，再分别连接、、、、、所得的几何体.已知大厦的主楼高度约为米，底层面积（即的面积）约为平方米. （1）求证：； （2）试分别以正三棱柱和几何体为模型估算大厦主楼的体积. 20. 已知椭圆的方程为，分别是的左、右焦点，A是的上顶点. （1）设直线与椭圆的另一个交点为，求的周长； （2）给定点，直线分别与椭圆交于另一点，求的面积； （3）设是椭圆上的一点，是轴上一点，若点满足，，且点在椭圆上，求的最大值，并求出此时点的坐标. 21. 已知正方体的棱长为1，P是对角面（包含边界）内一点，且. （1）求的长度； （2）是否存在点，使得平面平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由； （3）过点作平面与直线垂直，求平面与平面所成锐二面角的最小值，并求此时平面截正方体所得截面图形的周长. 上海市建平中学2023学年第一学期期末质量监测 高二数学试卷 一、填空题（1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54分） 【1题答案】 【答案】## 【2题答案】 【答案】 【3题答案】 【答案】 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】. 【12题答案】 【答案】或 二、单选题（13、14题每题4分，15、16题每题5分，共18分） 【13题答案】 【答案】C 【14题答案】 【答案】D 【15题答案】 【答案】C 【16题答案】 【答案】C 三、解答题（17、18、19题每题14分，20、21题每题18分，共78分） 【17题答案】 【答案】（1）； （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2），的面积为 【19题答案】 【答案】（1）证明