27.2.3 证明圆的切线的常用方法 学案 2023-2024学年华东师大版九年级数学下册

证明圆的切线的常用方法 类型一:连半径，证垂直 方法一：利用特殊角计算法证垂直 1．如图，在中，，点在上，以为圆心，为半径的半圆分别交，于点，且点是弧的中点．    (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积（结果保留）． 2．如图，在中，，以为直径的与相交于点D，E为上一点，且．    (1)求的长； (2)若，求证：为的切线． 方法二：利用等角代换法证垂直 1．如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，且． (1)求证：是的切线； (2)若直径，求的长． 2．如图，内接于，是的直径，，于点，交于点，交于点，，连接．    (1)求证：是的切线； (2)判断的形状，并说明理由； (3)当时，求的长． 方法三：利用平行线性质法证垂直 1．如图，在中，，以为直径的交于点D，，垂足为E． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 2．如图，四边形是的内接四边形，是直径，是的中点，过点作交的延长线于点．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 方法四：利用全等三角形法证垂直 1．如图，，分别是的直径和弦，半径于点．过点作的切线与的延长线交于点，，的延长线交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 2．如图，在单位长度为1的网格中，点O，A，B均在格点上，，，以O为圆心，为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问题： ①过点A作切线，且（点C在A的上方）； ②连接，交于点D； ③连接，与交于点E． (1)求证：为的切线； (2)求的长度． 方法五：利用相似三角形法证垂直 1．如图，是的直径，点在上，，点在线段的延长线上，且．    (1)求证：EF与相切； (2)若，求的长． 类型二：作垂直，证半径 方法一：利用角平分线的性质法证半径 1．如图，平分，与相切于点A，延长交于点C，过点O作，垂足为B．    (1)求证：是的切线； (2)若的半径为4，，求的长． 2．如图，是等腰直角三角形，，点O为的中点，连接交于点E， 与相切于点D． (1)求证：是的切线； (2)延长交于点G，连接交于点F，若，求的长． 方法二：利用全等三角形法证半径 1．如图中，，以的中点O为圆心作切于点D；    (1)求证：是的切线． (2)若，求的半径 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 证明圆的切线的常用方法 类型一：连半径，证垂直 方法一：利用特殊角计算法证垂直 1．如图，在中，，点在上，以为圆心，为半径的半圆分别交，于点，且点是弧的中点．    (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积（结果保留）． 分析:（1）连接、，证出，即可得出结论； （2）根据，分别求出和即可得出答案． 证明:（1）连接、，    ， ， ， ， ， 点是弧的中点， ， ， ， 为半径， 是的切线； （2），， 为等腰直角三角形， 设，则， ， ， ， ， ． 2．如图，在中，，以为直径的与相交于点D，E为上一点，且．    (1)求的长； (2)若，求证：为的切线． 分析:（1）如图所示，连接，先求出，再由圆周角定理得到，进而求出，再根据弧长公式进行求解即可； （2）如图所示，连接，先由三角形内角和定理得到，则由圆周角定理可得，再由是的直径，得到，进而求出，进一步推出，由此即可证明是的切线． 解：（1）如图所示，连接， ∵是的直径，且， ∴， ∵E为上一点，且， ∴， ∴， ∴的长；    （2）证明：如图所示，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线．      方法二：利用等角代换法证垂直 1．如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，且． (1)求证：是的切线； (2)若直径，求的长． 分析: (1)根据直径所对的圆周角是直角，余角的性质即可求得结论； (2)根据已知条件可知，再根据正切的定义和相似三角形的性质得到线段的关系即可求得线段的长度． （1）证明：连接， ∵是的直径， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， 即， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， ∵在中， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 又∵， 即， 解得（取正值）， ∴， 2．如图，内接于，是的直径，，于点，交于点，交于点，，连接．    (1)求证：是的切线； (2)判断的形状，并说明理由； (3)当时，求的长． 分析:（1）连接，根据圆周角定理得出，根据已知得出，根据得出，进而根据对等角相等，以及三角形内角和定理可得，即可得证； （2）根据题意得出，则，证明，得出，等量代换得出，即可得出结论； （3）根据，，设，则，等边对等角得出，则． （1）证明：如图所示，连接，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， 即，又是的直径， ∴是的切线