第五章 三角函数 期末复习讲义-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

高一数学必修一第五章章末复习 一、基础知识 1．角的概念 (1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形． (2)分类 (3)相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α. (4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合。 即S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． 2．弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示． (2)公式 角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 1°＝rad；1 rad＝）° 弧长公式 弧长l＝αr 扇形面积公式 S＝lr＝αr2 3.任意角的三角函数 （1）设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)， 则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)． （2） 设P(x，y)是角α终边上异于原点的任意一点，其到原点O的距离为r， 则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0). （3）三角函数值在各象限符号的规律：　一全正、二正弦、三正切、四余弦． 4.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系：＝tan α 5.三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 记忆口诀 奇变偶不变，符号看象限 6.三角函数的图象及性质 （1）“五点法”作图： *正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象的五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0). *余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象的五个关键点是：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1). （2）正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R 值域 [－1，1] [－1，1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 ，k∈Z [2kπ－π，2kπ]，k∈Z ，k∈Z 递减区间 ，k∈Z [2kπ，2kπ＋π]，k∈Z 无 对称中心 (kπ，0) 对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无 . 7.函数的周期性 (1) 周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期. (2) 最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 特别地，①y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)的最小正周期T=； ②若y＝A tan (ωx＋φ)的最小正周期 T= (3) 函数周期性常用结论： ①若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0); ②若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0).; ③若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0). 2、 典例剖析 题型一 任意角和弧度制 1．设=－300°，则与终边相同的角的集合为（ ） A. {|=300°＋k·360°，k∈Z} B. {|=60°＋k·360°，k∈Z} C. {|=30°＋k·360°，k∈Z} D. {|=－60°＋k·360°，k∈Z} 2.（多选）下列结论正确的是　　 A．是第三象限角 B．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为 C．若角的终边上有一点，则 D．若角为锐角，则角为钝角 3.已知弧度数为的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是__________. 4.已知一扇形的圆心角为，半径为. (1) 若，，求扇形的弧长和面积； (2) 己知扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角； (3) 若扇形周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大?并求出最大值. 题型二 三角函数的概念 1.已知角的终边经过点，则等于( ) A. B. C. D. 2.已知角的终边与单位圆的交点坐标为,则下列表示正确的是( ) A.