习题课2 空间向量研究线、面角问题课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019)选择性必修第一册

空间向量研究线、面角问题 习题课2 1.理解线、面角的向量求解方法，能用空间向量方法求解线、面角. 学习活动 学习目标 学习总结 2 目标一：理解线、面角的向量求解方法，能用空间向量方法求解线、面角. 任务1：复习线面角的向量表示，用空间向量判定证明线面平行. 如何用向量求解空间中的异面直线角问题？ 学习活动 学习目标 学习总结 归纳总结 异面直线所成角向量求法：若异面直线l1,l2所成的角为θ，其方向向量分别为u,v 则 学习活动 学习目标 学习总结 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1= ，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（ ）. A. B. C. D. 法1：如图,以D为坐标原点，DA,DC,DD1为x,y,z轴建系，则 ， 所以 . 因为 ,所以直线AD1与DB1所成角的余弦值为 ，选C. C 学习活动 学习目标 学习总结 法2：由长方体的性质得DA，DC，DD1两两垂直， 因为AB=BC=1，AA1= ,所以DA=DC=1，DD1= . 因为 , 所以 , , , 所以 所以异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为 . 学习活动 学习目标 学习总结 任务2：复习线面角的向量求法，用空间向量求线面角. 归纳总结 直线与平面所成角的一般表达式： ,其中，u为直线的方向向量，n为平面的法向量. A   B C n u θ 如何用向量求解空间中的线面角问题？ 学习活动 学习目标 学习总结 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ABC=120°，AB=1，BC=4，PA= ，M，N分别为BC，PC的中点，PD⊥DC，PM⊥MD. (1)证明：AB⊥PM； (2)求直线AN与平面PDM所成角的正弦值. (1)在△DCM中，DC=1，CM=2，∠DCM=60°， 由余弦定理可得 ，所以 ，所以DM⊥DC． 由题意知 且 ，所以DC⊥平面PDM， 而PM⊂平面PDM，所以DC⊥PM，又AB∥DC，所以AB⊥PM． 学习活动 学习目标 学习总结 (2)由PM⊥MD，AB⊥PM，而AB与MD相交，所以PM⊥平面ABCD，由余弦定理可得 ，所以 ，取AD中点E，连接ME，则ME，DM，PM两两垂直. 以M点为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系, 则 , . 又N为PC中点，所以 . 由(1)得DC⊥平面PDM，所以平面PDM的一个法向量 ， 从而直线AN与平面PDM所成角的正弦值为 ． 学习活动 学习目标 学习总结 任务3：复习面面角的向量求法，用空间向量求面面角. α β n1 n2 面面角：若平面α,β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角. 设平面α与平面β的夹角为θ，则 学习活动 学习目标 学习总结 在四棱锥Q-ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD