1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019)选择性必修第一册

课时11 用空间向量研究距离、夹角问题 新授课 1.理解直线的方向向量、平面法向量的关系，能用向量方法求解异面直线所成角、线面角和面面角. 学习活动 学习目标 学习总结 2 任务1：探索利用空间向量数量积求解直线与直线所成角问题. 目标：理解直线的方向向量、平面法向量的关系，能用向量方法求解异面直线所成角、线面角和面面角. 如图，在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD中，M,N分别为BC,AD的中点，求直线AM和CN夹角的余弦值. (1)这个问题的已知条件是什么？根据以往的经验，你打算通过什么途径将这个立体几何问题转化成向量问题？ 学习活动 学习目标 学习总结 已知正四面体的棱长和棱与棱之间夹角，AM和CN是中线，其模长可求，与其他棱的夹角也是确定的， 途径1：通过建立一个基底，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面等元素，从而把立体几何问题转化成向量问题； 途径2：通过建立空间直角坐标系，用坐标表示问题中涉及的点、直线、平面等元素，从而把立体几何问题转化成向量问题.实际上，空间直角坐标系也是基底，是“特殊”的基底. 学习活动 学习目标 学习总结 (2)根据途径1，结合已知条件，思考建立什么基底能便于计算向量 ， 的数量积？ 由已知条件可知，向量 的模长已知，且它们之间的夹角也已知，故选择 为基底并表示向量 ， 便于计算数量积. (3)通过向量运算求出向量 ， 夹角的余弦值，进而求出直线AM和CN夹角的余弦值. 解：化为向量问题：以 为基底，则 ， 设向量 和 的夹角为θ，则直线AM和CN夹角的余弦值为 . 学习活动 学习目标 学习总结 进行向量运算： 又△ABC和△ACD均为等边三角形，所以 所以 回到图形问题：所以直线AM与CN夹角的余弦值等于 思考：回顾求解过程，归纳利用向量求空间直线l1,l2夹角θ的余弦值的步骤. 学习活动 学习目标 学习总结 归纳总结 用空间向量求两条直线l1,l2夹角θ的步骤与方法： 化为向量问题 进行向量运算 回到图形问题 两条直线l1,l2夹角θ的余弦值cosθ=|cos<u,v>| 转化为求两直线l1,l2的方向向量u,v的夹角 计算 的值 学习活动 学习目标 学习总结 任务2：探索空间向量求解直线与平面所成角的方法. 如图所示，设直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则由此讨论如何用向量u和n求解直线AB与平面α的夹角θ的正弦值？ A   B C n u θ 归纳总结 直线与平面所成角的一般表达式： ,其中，u为直线的方向向量，n为平面的法向量. 学习活动 学习目标 学习总结 任务3：探索空间向量求解平面与平面所成角的方法. 如图所示，类比已有的直线、平面所成角的定义，你认为应如何合理定义两个平面所成的角？进一步地，如何求平面和平面的夹角？ α β n1 n2 类似两条异面直线所成的角，若平面α,β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角. 设平面α与平面β的夹角为θ， 则 归纳总结 学习活动 学习目标 学习总结 思考：(1)如何求平面的法向量？ (2)平面与平面的夹角与二面角的区别和联系吗？ (1)在平面内找两个不共线的向量a和b，设平面的法向量n=(x,y,z)， 则 根据这个不定方程组，可以求得一个法向n0=(x0,y0,z0) . (2)二面角的大小是指其两个半平面的张开程度，可以用其平面角θ的大小来定义，它的取值范围是0≤θ≤π； 平面α与平面β的夹角是指平面α与平面β相交，形成的四个二面角中不大于90°的二面角. 学习活动 学习目标 学习总结 任务4：利用空间向量求解线面角，并归纳空间向量解决立体几何问题的方法. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CB=2,AA1=3,∠ACB=90°，P为BC的中点，点Q，R分别在棱AA1,BB1上，A1Q=2AQ,BR=2RB1，求平面PQR与平面A1B1C1夹角的余弦值. 解：转化为向量问题：以C1为原点，C1A1，C1B1，C1C所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设平面A1B1C1的法向量为n1，平面PQR的法向量为n2，则平面PQR与平面A1B1C1的夹角就是n1与n2的夹角或其补角. 学习活动 学